ตั้งแต่ปี 2010 · รองรับการใช้งานเครื่องมือกว่า 2 ล้านครั้งต่อเดือน
ตั้งแต่ปี 2010
เพิ่มใน Chrome

กล่องเครื่องมือของฉัน

โหมดอัตโนมัติ

ยังไม่มีเครื่องมือที่บันทึกไว้

อัปเกรดเป็นเวอร์ชันพรีเมียม
เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง
ตรวจสอบจำนวนสมบูรณ์ตัวตรวจสอบแพนแกรมเครื่องกำเนิดจำนวนเต็มสุ่ม
หน้าแรก > คณิตศาสตร์ > การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน
 

ตรวจสอบจำนวนมิตร

ตรวจสอบว่าจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเป็นคู่ amicable หรือไม่ หรือใส่จำนวนเดียวแล้วให้เครื่องมือหาคู่ให้ มีแอนิเมชันการจับคู่ตัวหาร การแจกแจงฟังก์ชัน sigma ทีละขั้นตอน และตัวอย่างห่วงโซ่ aliquot

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที
ตรวจสอบจำนวนมิตรลองใช้เลย — ฟรี ▼

ลองใช้คู่ที่มีชื่อเสียง — หรือป้อนตัวเลขเดียวเพื่อค้นหาคู่อัตโนมัติ:

✦ คู่ยอดนิยม 220, 284 1184, 1210 2620, 2924 17296, 18416
→ ค้นหาอัตโนมัติ 220 5020 12285
✕ ไม่เป็นจำนวนมิตร 6, 28 100, 200
↔

↔ เว้นช่องที่สองให้ว่างเพื่อคำนวณหาคู่ที่เหมาะสมโดยอัตโนมัติและตรวจสอบวงจร

Embed ตรวจสอบจำนวนมิตร Widget

เกี่ยวกับ ตรวจสอบจำนวนมิตร

ยินดีต้อนรับสู่ ตรวจสอบจำนวนมิตร เครื่องมือแบบโต้ตอบที่จะช่วยตรวจสอบว่าจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเป็น คู่จำนวนมิตร หรือไม่ ซึ่งเป็นหนึ่งในความสัมพันธ์ที่สง่างามที่สุดในทฤษฎีจำนวน คุณสามารถป้อนคู่ตัวเลขเพื่อตรวจสอบ หรือป้อนเพียงตัวเลขเดียวเพื่อให้เครื่องมือค้นหาคู่ที่เหมาะสมโดยอัตโนมัติ หน้าผลลัพธ์จะประกอบด้วยการพิสูจน์ห้าขั้นตอน แผนภาพการจับมือที่แสดงเงื่อนไขผลรวมไขว้ การแจกแจงตัวหารแบบเปรียบเทียบ และการพรีวิว Aliquot-chain

จำนวนมิตรคืออะไร?

จำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสองจำนวน \(a\) และ \(b\) จะถือว่าเป็น คู่จำนวนมิตร หากผลบวกของ ตัวหารแท้ ของแต่ละจำนวนเท่ากับอีกจำนวนหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลบวก Aliquot — ผลรวมของตัวหารบวกทั้งหมดของตัวเลขยกเว้นตัวมันเอง — ชี้จาก \(a\) ไปยัง \(b\) และจาก \(b\) กลับมายัง \(a\)

นิยามของคู่จำนวนมิตร
$$s(a) = b \quad \text{และ} \quad s(b) = a, \quad a \neq b$$

โดยที่ \(s(n)\) คือผลบวกของตัวหารแท้ของ \(n\)

คู่จำนวนมิตรที่น้อยที่สุดคือ (220, 284):

ตัวเลขแต่ละตัว "สร้าง" อีกตัวหนึ่งผ่านตัวหารของมันเอง — จึงเป็นที่มาของชื่อ จำนวนมิตร (มาจากภาษาละติน amicabilis ซึ่งหมายถึงเป็นมิตร)

ประวัติโดยย่อของจำนวนมิตร

จำนวนมิตรสร้างความหลงใหลให้นักคณิตศาสตร์มานานกว่า 2,500 ปี:

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

  1. ป้อนตัวเลข: พิมพ์จำนวนเต็มบวกหนึ่งหรือสองจำนวน เว้นช่องที่สองว่างไว้หากต้องการให้เครื่องมือหาคู่ที่เหมาะสมโดยอัตโนมัติ
  2. ตรวจสอบ: คลิก "ตรวจสอบจำนวนมิตร" เพื่อเริ่มการตรวจสอบ
  3. อ่านคำตัดสิน: แถบสีด้านบนจะแสดงว่าคู่นั้นเป็นจำนวนมิตร (สีเขียว) หรือไม่ (สีแดง)
  4. สำรวจ: ตรวจสอบแผนภาพการจับมือ, การแจกแจงตัวหารแบบเปรียบเทียบ, การพิสูจน์ทีละขั้นตอน, แผนภูมิแท่งตัวหาร และการพรีวิว Aliquot chain

กฎของ Thabit ibn Qurra

ราวปี ค.ศ. 850 Thabit ibn Qurra พหูสูตชาวอาหรับได้ค้นพบสูตรบางส่วนสำหรับการสร้างคู่จำนวนมิตร กำหนดให้:

กฎของ Thabit
$$p = 3 \cdot 2^{n-1} - 1, \quad q = 3 \cdot 2^{n} - 1, \quad r = 9 \cdot 2^{2n-1} - 1$$

หาก \(p, q, r\) ทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น \(\left(2^n \cdot p \cdot q, \; 2^n \cdot r\right)\) จะเป็นคู่จำนวนมิตร

การตั้งค่า \(n = 2\) จะได้ \(p=5, q=11, r=71\) — ทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ — ซึ่งสร้างคู่คลาสสิก (220, 284) กฎนี้ให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องสำหรับค่า \(n\) เพียงไม่กี่ค่าเท่านั้น จึงไม่ครอบคลุมทั้งหมด แต่มันช่วยให้นักคณิตศาสตร์มีจุดเริ่มต้นในการหาคู่ใหม่ๆ หลายศตวรรษก่อนที่จะมีคอมพิวเตอร์

ลำดับ Aliquot และจำนวนสมาคม

ลำดับ Aliquot ของจำนวน \(n\) คือลำดับ \(n, s(n), s(s(n)), \ldots\) ที่ได้จากการใช้ผลบวกตัวหารแท้ซ้ำๆ สิ่งที่ลำดับทำจะเผยให้เห็นโครงสร้างที่ลึกซึ้ง:

คู่จำนวนมิตรสิบคู่แรก

ลำดับที่จำนวนที่น้อยกว่าจำนวนที่มากกว่าค้นพบโดย
1220284Pythagoras (ประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล)
21,1841,210Paganini (1866)
32,6202,924Euler (1747)
45,0205,564Euler
56,2326,368Euler
610,74410,856Euler
712,28514,595Brown (1939) — คู่คี่ที่น้อยที่สุด
817,29618,416Ibn al-Banna / Fermat
963,02076,084Euler
1066,92866,992Euler

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับจำนวนมิตร

คำถามที่พบบ่อย

จำนวนมิตรคืออะไร?

จำนวนมิตรคือจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสองจำนวน (a, b) โดยที่ผลบวกของตัวหารแท้ของ a เท่ากับ b และผลบวกของตัวหารแท้ของ b เท่ากับ a คู่จำนวนมิตรที่น้อยที่สุดคือ (220, 284) ซึ่งเชื่อว่าเป็นผลงานของ Pythagoras

ฉันจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าตัวเลขสองจำนวนเป็นจำนวนมิตรกันหรือไม่?

คำนวณตัวหารแท้ (ตัวหารทั้งหมดที่น้อยกว่าตัวมันเอง) ของตัวเลขทั้งสองและหาผลรวม หาก \(s(a) = b\) และ \(s(b) = a\) และ \(a \neq b\) แสดงว่า \((a, b)\) เป็นคู่จำนวนมิตร เครื่องมือของเราจะทำสิ่งนี้ให้โดยอัตโนมัติและแสดงแต่ละขั้นตอน

ฉันสามารถป้อนตัวเลขเพียงตัวเดียวเพื่อหาคู่จำนวนมิตรได้หรือไม่?

ได้ เพียงเว้นช่องที่สองให้ว่างไว้ แล้วเครื่องมือจะคำนวณ \(s(a)\) เพื่อเป็นตัวเลือกคู่ที่เหมาะสม จากนั้นจะตรวจสอบว่า \(s(s(a)) = a\) หรือไม่ หากเท่ากัน ตัวเลขทั้งสองจะเป็นคู่จำนวนมิตรกัน

ความแตกต่างระหว่างจำนวนมิตรกับจำนวนสมบูรณ์คืออะไร?

จำนวนสมบูรณ์ คือจำนวนเดียวที่มีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหารแท้ของมันเอง (เช่น 6 = 1+2+3) ส่วน คู่จำนวนมิตร ประกอบด้วยตัวเลขสองจำนวนที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละจำนวนเท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ของอีกจำนวนหนึ่ง จำนวนสมบูรณ์อาจมองว่าเป็นกรณีพิเศษที่ \(a = b\) แต่ตามหลักการแล้วจะไม่เรียกว่าจำนวนมิตร

มีการค้นพบคู่จำนวนมิตรแล้วกี่คู่?

ข้อมูล ณ ปี 2020 มีการคำนวณคู่จำนวนมิตรมากกว่า 1.2 พันล้านคู่โดยโครงการความร่วมมือต่างๆ คู่แรกๆ ได้แก่ (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564) และ (6232, 6368) คู่จำนวนมิตรรูปแบบคี่ที่น้อยที่สุดคือ (12285, 14595)

ใครเป็นผู้ค้นพบคู่ (1184, 1210)?

มันถูกค้นพบในปี 1866 โดย Niccolò Paganini นักเรียนชาวอิตาลีวัย 16 ปี คู่จำนวนมิตรนี้ถูกมองข้ามโดยนักคณิตศาสตร์มาหลายศตวรรษ รวมถึง Fermat, Descartes และ Euler แม้ว่าจะเป็นคู่จำนวนมิตรที่น้อยที่สุดอันดับสองก็ตาม

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"ตรวจสอบจำนวนมิตร" ที่ https://MiniWebtool.com/th/ตรวจสอบจำนวนมิตร/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 18 เม.ย. 2026

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน:

เครื่องมือยอดนิยมและอัปเดตล่าสุด:

เครื่องตรวจสอบตัวเลขฟีโบนักชีตรวจสอบเลขคู่หรือเลขคี่ตัวตรวจสอบจำนวนเฉพาะแมร์เซนดูทั้งหมด →
หน้าแรก > คณิตศาสตร์ > การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน > ตรวจสอบจำนวนมิตร