ตรวจสอบจำนวนมิตร

ตรวจสอบว่าจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเป็นคู่จำนวนมิตรหรือไม่ หรือป้อนเพียงจำนวนเดียว เพื่อให้เครื่องมือค้นหาคู่หูของมันโดยอัตโนมัติ พร้อมการแสดงภาพ "การจับมือ" ของตัวหารแบบแอนิเมชัน การแจกแจงฟังก์ชันซิกมาทีละขั้นตอน การดูตัวอย่างลำดับ Aliquot และบริบททางประวัติศาสตร์ ย้อนกลับไปถึงสมัย Pythagoras

ตรวจสอบจำนวนมิตร

ลองใช้คู่ที่มีชื่อเสียง — หรือป้อนตัวเลขเดียวเพื่อค้นหาคู่อัตโนมัติ:

✦ คู่ยอดนิยม 220, 284 1184, 1210 2620, 2924 17296, 18416

→ ค้นหาอัตโนมัติ 220 5020 12285

✕ ไม่เป็นจำนวนมิตร 6, 28 100, 200

ตัวเลขแรก (จำเป็น)

↔

ตัวเลขที่สอง (ตัวเลือก)

↔ เว้นช่องที่สองให้ว่างเพื่อคำนวณหาคู่ที่เหมาะสมโดยอัตโนมัติและตรวจสอบวงจร

Embed ตรวจสอบจำนวนมิตร Widget

เกี่ยวกับ ตรวจสอบจำนวนมิตร

ยินดีต้อนรับสู่ ตรวจสอบจำนวนมิตร เครื่องมือแบบโต้ตอบที่จะช่วยตรวจสอบว่าจำนวนเต็มบวกสองจำนวนเป็น คู่จำนวนมิตร หรือไม่ ซึ่งเป็นหนึ่งในความสัมพันธ์ที่สง่างามที่สุดในทฤษฎีจำนวน คุณสามารถป้อนคู่ตัวเลขเพื่อตรวจสอบ หรือป้อนเพียงตัวเลขเดียวเพื่อให้เครื่องมือค้นหาคู่ที่เหมาะสมโดยอัตโนมัติ หน้าผลลัพธ์จะประกอบด้วยการพิสูจน์ห้าขั้นตอน แผนภาพการจับมือที่แสดงเงื่อนไขผลรวมไขว้ การแจกแจงตัวหารแบบเปรียบเทียบ และการพรีวิว Aliquot-chain

จำนวนมิตรคืออะไร?

จำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสองจำนวน $a$ และ $b$ จะถือว่าเป็น คู่จำนวนมิตร หากผลบวกของ ตัวหารแท้ ของแต่ละจำนวนเท่ากับอีกจำนวนหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลบวก Aliquot — ผลรวมของตัวหารบวกทั้งหมดของตัวเลขยกเว้นตัวมันเอง — ชี้จาก $a$ ไปยัง $b$ และจาก $b$ กลับมายัง $a$

นิยามของคู่จำนวนมิตร

$$s(a) = b \quad \text{และ} \quad s(b) = a, \quad a \neq b$$

โดยที่ $s(n)$ คือผลบวกของตัวหารแท้ของ $n$

คู่จำนวนมิตรที่น้อยที่สุดคือ (220, 284):

ตัวหารแท้ของ 220: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
ตัวหารแท้ของ 284: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

ตัวเลขแต่ละตัว "สร้าง" อีกตัวหนึ่งผ่านตัวหารของมันเอง — จึงเป็นที่มาของชื่อ จำนวนมิตร (มาจากภาษาละติน amicabilis ซึ่งหมายถึงเป็นมิตร)

ประวัติโดยย่อของจำนวนมิตร

จำนวนมิตรสร้างความหลงใหลให้นักคณิตศาสตร์มานานกว่า 2,500 ปี:

Pythagoras (ประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล): ตามบันทึกของ Iamblichus Pythagoras รู้จักคู่ (220, 284) และเรียกมันว่าเป็นสัญลักษณ์ของมิตรภาพ
Thabit ibn Qurra (ศตวรรษที่ 9): ค้นพบกฎทั่วไปข้อแรกสำหรับการสร้างคู่จำนวนมิตร — ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ Thabit's theorem
Ibn al-Banna (ศตวรรษที่ 13): ค้นพบคู่ (17296, 18416) ซึ่งถูกค้นพบซ้ำโดย Fermat ในปี 1636
Fermat & Descartes (ศตวรรษที่ 17): ค้นพบคู่ (9,363,584; 9,437,056) โดยแยกอิสระจากกัน
Euler (ศตวรรษที่ 18): ขยายรายชื่ออย่างมาก โดยค้นพบคู่ใหม่ 59 คู่และจัดทำทฤษฎีให้เป็นระบบ
Paganini (1866): ชาวอิตาลีวัย 16 ปีชื่อ Niccolò Paganini ค้นพบ (1184, 1210) ซึ่งเป็นคู่ที่น้อยที่สุดอันดับสอง — ซึ่งนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนก่อนหน้าเขาทั้งหมดมองข้ามไป
ยุคปัจจุบัน: ข้อมูล ณ ปี 2020 การคำนวณแบบร่วมมือกันได้ค้นพบคู่จำนวนมิตรมากกว่า 1.2 พันล้านคู่แล้ว

วิธีใช้เครื่องคำนวณนี้

ป้อนตัวเลข: พิมพ์จำนวนเต็มบวกหนึ่งหรือสองจำนวน เว้นช่องที่สองว่างไว้หากต้องการให้เครื่องมือหาคู่ที่เหมาะสมโดยอัตโนมัติ
ตรวจสอบ: คลิก "ตรวจสอบจำนวนมิตร" เพื่อเริ่มการตรวจสอบ
อ่านคำตัดสิน: แถบสีด้านบนจะแสดงว่าคู่นั้นเป็นจำนวนมิตร (สีเขียว) หรือไม่ (สีแดง)
สำรวจ: ตรวจสอบแผนภาพการจับมือ, การแจกแจงตัวหารแบบเปรียบเทียบ, การพิสูจน์ทีละขั้นตอน, แผนภูมิแท่งตัวหาร และการพรีวิว Aliquot chain

กฎของ Thabit ibn Qurra

ราวปี ค.ศ. 850 Thabit ibn Qurra พหูสูตชาวอาหรับได้ค้นพบสูตรบางส่วนสำหรับการสร้างคู่จำนวนมิตร กำหนดให้:

กฎของ Thabit

$$p = 3 \cdot 2^{n-1} - 1, \quad q = 3 \cdot 2^{n} - 1, \quad r = 9 \cdot 2^{2n-1} - 1$$

หาก $p, q, r$ ทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น $\left(2^n \cdot p \cdot q, \; 2^n \cdot r\right)$ จะเป็นคู่จำนวนมิตร

การตั้งค่า $n = 2$ จะได้ $p=5, q=11, r=71$ — ทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะ — ซึ่งสร้างคู่คลาสสิก (220, 284) กฎนี้ให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องสำหรับค่า $n$ เพียงไม่กี่ค่าเท่านั้น จึงไม่ครอบคลุมทั้งหมด แต่มันช่วยให้นักคณิตศาสตร์มีจุดเริ่มต้นในการหาคู่ใหม่ๆ หลายศตวรรษก่อนที่จะมีคอมพิวเตอร์

ลำดับ Aliquot และจำนวนสมาคม

ลำดับ Aliquot ของจำนวน $n$ คือลำดับ $n, s(n), s(s(n)), \ldots$ ที่ได้จากการใช้ผลบวกตัวหารแท้ซ้ำๆ สิ่งที่ลำดับทำจะเผยให้เห็นโครงสร้างที่ลึกซึ้ง:

จำนวนสมบูรณ์ จะสร้างจุดคงที่: $s(n) = n$ (คาบ 1)
คู่จำนวนมิตร จะสร้างวงรอบ 2 ขั้น: $s(s(n)) = n$ (คาบ 2)
จำนวนสมาคม (Sociable numbers) จะสร้างวงรอบที่ยาวขึ้นตั้งแต่คาบ 3 ขึ้นไป (เช่น วงรอบ 5 ขั้นที่เริ่มจาก 12496)
จำนวนใฝ่สูง (Aspiring numbers) ในที่สุดจะไปถึงจำนวนสมบูรณ์
โซ่ขาดแคลน (Deficient chains) จะลดลงเหลือ 1 และสิ้นสุดลง
Lehmer five: ลำดับที่เริ่มจาก 276, 552, 564, 660 และ 966 ถูกคำนวณไปถึงหลายพันล้านพจน์โดยยังไม่มีบทสรุป — ชะตากรรมของพวกมันยังไม่เป็นที่รู้จัก

คู่จำนวนมิตรสิบคู่แรก

ลำดับที่	จำนวนที่น้อยกว่า	จำนวนที่มากกว่า	ค้นพบโดย
1	220	284	Pythagoras (ประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล)
2	1,184	1,210	Paganini (1866)
3	2,620	2,924	Euler (1747)
4	5,020	5,564	Euler
5	6,232	6,368	Euler
6	10,744	10,856	Euler
7	12,285	14,595	Brown (1939) — คู่คี่ที่น้อยที่สุด
8	17,296	18,416	Ibn al-Banna / Fermat
9	63,020	76,084	Euler
10	66,928	66,992	Euler

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับจำนวนมิตร

ในคัมภีร์ไบเบิล ยาโคบมอบแพะ 220 ตัวให้เอซาวเป็นของขวัญแห่งสันติภาพ (ปฐมกาล 32:14) — นักวิชาการบางคนมองว่านี่เป็นการสื่อถึงคู่จำนวนมิตร (220, 284)
เครื่องรางในยุคกลางบางครั้งมีการสลักเลข 220 และ 284 ไว้บนวัตถุสองชิ้นที่แลกเปลี่ยนกันระหว่างเพื่อนหรือคู่รัก
คู่จำนวนมิตรที่รู้จักทั้งหมดมี ภาวะคู่หรือคี่ (parity) เหมือนกัน: เป็นเลขคู่ทั้งคู่หรือเลขคี่ทั้งคู่ — ยังไม่เคยพบคู่ที่มีภาวะผสมกัน แม้ว่าการมีอยู่ของมันจะเป็นปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบก็ตาม
คู่จำนวนมิตรที่รู้จักทุกคู่มีตัวหารร่วมที่มากกว่า 1 ความลับที่ว่าจะมีคู่จำนวนมิตรที่ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (coprime) หรือไม่นั้นยังไม่ได้รับการแก้ไข และหากมีอยู่จริง มันจะต้องมีค่าเกินกว่า $10^{67}$

คำถามที่พบบ่อย

จำนวนมิตรคืออะไร?

จำนวนมิตรคือจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันสองจำนวน (a, b) โดยที่ผลบวกของตัวหารแท้ของ a เท่ากับ b และผลบวกของตัวหารแท้ของ b เท่ากับ a คู่จำนวนมิตรที่น้อยที่สุดคือ (220, 284) ซึ่งเชื่อว่าเป็นผลงานของ Pythagoras

ฉันจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าตัวเลขสองจำนวนเป็นจำนวนมิตรกันหรือไม่?

คำนวณตัวหารแท้ (ตัวหารทั้งหมดที่น้อยกว่าตัวมันเอง) ของตัวเลขทั้งสองและหาผลรวม หาก $s(a) = b$ และ $s(b) = a$ และ $a \neq b$ แสดงว่า $(a, b)$ เป็นคู่จำนวนมิตร เครื่องมือของเราจะทำสิ่งนี้ให้โดยอัตโนมัติและแสดงแต่ละขั้นตอน

ฉันสามารถป้อนตัวเลขเพียงตัวเดียวเพื่อหาคู่จำนวนมิตรได้หรือไม่?

ได้ เพียงเว้นช่องที่สองให้ว่างไว้ แล้วเครื่องมือจะคำนวณ $s(a)$ เพื่อเป็นตัวเลือกคู่ที่เหมาะสม จากนั้นจะตรวจสอบว่า $s(s(a)) = a$ หรือไม่ หากเท่ากัน ตัวเลขทั้งสองจะเป็นคู่จำนวนมิตรกัน

ความแตกต่างระหว่างจำนวนมิตรกับจำนวนสมบูรณ์คืออะไร?

จำนวนสมบูรณ์ คือจำนวนเดียวที่มีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหารแท้ของมันเอง (เช่น 6 = 1+2+3) ส่วน คู่จำนวนมิตร ประกอบด้วยตัวเลขสองจำนวนที่แตกต่างกัน ซึ่งแต่ละจำนวนเท่ากับผลรวมของตัวหารแท้ของอีกจำนวนหนึ่ง จำนวนสมบูรณ์อาจมองว่าเป็นกรณีพิเศษที่ $a = b$ แต่ตามหลักการแล้วจะไม่เรียกว่าจำนวนมิตร

มีการค้นพบคู่จำนวนมิตรแล้วกี่คู่?

ข้อมูล ณ ปี 2020 มีการคำนวณคู่จำนวนมิตรมากกว่า 1.2 พันล้านคู่โดยโครงการความร่วมมือต่างๆ คู่แรกๆ ได้แก่ (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564) และ (6232, 6368) คู่จำนวนมิตรรูปแบบคี่ที่น้อยที่สุดคือ (12285, 14595)

ใครเป็นผู้ค้นพบคู่ (1184, 1210)?

มันถูกค้นพบในปี 1866 โดย Niccolò Paganini นักเรียนชาวอิตาลีวัย 16 ปี คู่จำนวนมิตรนี้ถูกมองข้ามโดยนักคณิตศาสตร์มาหลายศตวรรษ รวมถึง Fermat, Descartes และ Euler แม้ว่าจะเป็นคู่จำนวนมิตรที่น้อยที่สุดอันดับสองก็ตาม