Kalkulator permutacji

O Kalkulator permutacji

Witaj w Kalkulatorze permutacji, kompleksowym narzędziu do obliczania permutacji P(n,r) z rozwiązaniami krok po kroku, przykładami wizualnymi i objaśnieniami edukacyjnymi. Niezależnie od tego, czy uczysz się kombinatoryki, rozwiązujesz problemy z rachunku prawdopodobieństwa, czy pracujesz nad rzeczywistymi problemami z układaniem elementów, ten kalkulator zapewnia natychmiastowe wyniki ze szczegółowym rozbiciem wzoru.

Co to jest permutacja?

Permutacja to układ obiektów w określonej kolejności. W przeciwieństwie do kombinacji (gdzie kolejność nie ma znaczenia), w permutacjach sekwencja lub kolejność elementów jest uważana za istotną. Liczba permutacji mówi nam, na ile różnych sposobów możemy ułożyć r elementów wybranych ze zbioru n odrębnych elementów.

Na przykład, jeśli masz 3 książki (A, B, C) i chcesz ułożyć 2 z nich na półce, permutacje to: AB, BA, AC, CA, BC, CB. To 6 różnych układów, ponieważ AB i BA są uważane za różne (kolejność ma znaczenie).

Wzór na permutację

Gdzie:

• n = całkowita liczba dostępnych odrębnych elementów
• r = liczba elementów do wyboru i ułożenia
• n! = n silnia = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Uproszczony wzór na permutację

Wzór można również zapisać jako iloczyn r kolejnych liczb całkowitych:

Permutacja a kombinacja

Kluczową różnicą między permutacjami a kombinacjami jest to, czy kolejność ma znaczenie:

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź n (wszystkie elementy): Wpisz całkowitą liczbę dostępnych odrębnych elementów.
2. Wprowadź r (elementy do ułożenia): Wpisz, ile elementów chcesz wybrać i ułożyć. Musi to być liczba mniejsza lub równa n.
3. Kliknij Oblicz: Naciśnij przycisk, aby obliczyć P(n,r) wraz z rozwiązaniem krok po kroku.
4. Przejrzyj wyniki: Zobacz całkowitą liczbę permutacji, porównanie z kombinacjami, przykłady wizualne i szczegółowe etapy obliczeń.

Przykłady permutacji w świecie rzeczywistym

Rankingi i zawody

W wyścigu z 10 biegaczami, na ile sposobów można przyznać 1., 2. i 3. miejsce?

P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 różnych układów na podium

Tworzenie haseł

Ile 4-literowych haseł można utworzyć z 26 liter (bez powtórzeń)?

P(26, 4) = 26 × 25 × 24 × 23 = 358 800 unikalnych haseł

Rozmieszczenie miejsc

Na ile sposobów 5 osób może usiąść na 5 krzesłach?

P(5, 5) = 5! = 120 różnych układów siedzeń

Harmonogram zadań

Jeśli masz 8 zadań i musisz zaplanować 4 z nich w kolejności, ile harmonogramów jest możliwych?

P(8, 4) = 8 × 7 × 6 × 5 = 1 680 różnych harmonogramów

Przypadki szczególne permutacji

P(n, n) = n!

Gdy r równa się n, układasz wszystkie elementy. P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n!

P(n, 0) = 1

Istnieje dokładnie jeden sposób na ułożenie zera elementów: nic nie robić.

P(n, 1) = n

Wybór i ułożenie 1 elementu z n daje n możliwości.

Typowe wartości permutacji

Permutacje z powtórzeniami

Ten kalkulator obsługuje permutacje bez powtórzeń (każdy element może być użyty tylko raz). W przypadku permutacji z powtórzeniami (gdzie elementy mogą być używane wielokrotnie), wzór to po prostu n^r.

Często zadawane pytania

Co to jest permutacja?

Permutacja to układ obiektów w określonej kolejności. W przeciwieństwie do kombinacji, w permutacjach kolejność elementów ma znaczenie. Na przykład, układanie 3 książek na półce, gdzie ich kolejność jest istotna, jest problemem permutacyjnym. Wzór to P(n,r) = n!/(n-r)!, gdzie n to całkowita liczba elementów, a r to liczba elementów do ułożenia.

Jaka jest różnica między permutacją a kombinacją?

Kluczowa różnica polega na tym, że permutacje uwzględniają kolejność, a kombinacje nie. P(n,r) = n!/(n-r)! liczy uporządkowane układy, podczas gdy C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] liczy nieuporządkowane wybory. Na przykład wybór przewodniczącego, wiceprzewodniczącego i sekretarza spośród 10 osób to permutacja (kolejność ma znaczenie), podczas gdy wybór 3 członków komisji to kombinacja (kolejność nie ma znaczenia).

Jak obliczyć P(n,r)?

Aby obliczyć P(n,r): 1) Zidentyfikuj n (całkowita liczba elementów) i r (liczba elementów do ułożenia). 2) Użyj wzoru P(n,r) = n!/(n-r)!. 3) Można to uprościć do n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1), co jest iloczynem r kolejnych liczb zaczynając od n. Na przykład P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60.

Ile wynosi P(n,n)?

P(n,n) = n!, co jest liczbą sposobów na ułożenie wszystkich n elementów. Gdy r jest równe n, wzór P(n,r) = n!/(n-r)! staje się n!/0! = n!/1 = n!. Na przykład P(4,4) = 4! = 24, co oznacza, że istnieje 24 sposobów na ułożenie 4 różnych elementów.

Jakie są przykłady permutacji w świecie rzeczywistym?

Typowe przykłady permutacji obejmują: układanie książek na półce, ustalanie kolejności na mecie wyścigu, tworzenie haseł lub kodów PIN, planowanie zadań w określonej kolejności, rozmieszczenie gości przy stole, ranking zawodników w konkursie oraz kombinacje numerów telefonów. Każdy scenariusz, w którym kolejność lub układ elementów ma znaczenie, wykorzystuje permutacje.

Dlaczego wzór na permutację wykorzystuje silnię?

Silnie pojawiają się we wzorach na permutacje, ponieważ zliczają wszystkie możliwe układy. Dla n elementów: na 1. pozycji mamy n wyborów, na 2. pozycji (n-1) wyborów i tak dalej. Iloczyn n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 = n!. Wybierając tylko r pozycji, dzielimy przez (n-r)!, aby usunąć układy tych pozycji, których nie używamy.

Dodatkowe zasoby

• Permutacja – Wikipedia
• Kombinatoryka – Wikipedia

Inne powiązane narzędzia:

Combinatorics: