Kalkulator Liczb Zespolonych

O Kalkulator Liczb Zespolonych

Witaj w naszym Kalkulatorze Liczb Zespolonych, kompleksowym narzędziu zaprojektowanym do wykonywania różnych operacji na liczbach zespolonych z szczegółowymi rozwiązaniami krok po kroku i wizualizacjami. Ten kalkulator jest idealny dla studentów, inżynierów oraz wszystkich zajmujących się liczbami zespolonymi w matematyce lub dziedzinach inżynieryjnych.

Funkcje Kalkulatora Liczb Zespolonych

• Operacje Arytmetyczne: Dodawanie, Odejmowanie, Mnożenie i Dzielenie liczb zespolonych.
• Konwersje: Konwertuj między formami prostokątną a polarną.
• Funkcje Zespolone: Oblicz moduł, argument, sprzężenie, potęgi i pierwiastki liczb zespolonych.
• Rozwiązania Krok po Kroku: Zrozum każdy krok zaangażowany w obliczenia.
• Wizualizacje: Rysuj liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej.

Zrozumienie Liczb Zespolonych

Liczba zespolona to liczba, którą można wyrazić w postaci \( a + bi \), gdzie \( a \) i \( b \) są liczbami rzeczywistymi, a \( i \) jest jednostką urojoną spełniającą \( i^2 = -1 \).

Forma Prostokątna

W formie prostokątnej liczba zespolona jest reprezentowana jako \( z = a + bi \).

Forma Polarnej

W formie polarnej liczba zespolona jest reprezentowana jako \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) lub \( z = re^{i\theta} \), gdzie:

• \( r = |z| \) jest modułem \( z \)
• \( \theta = \arg(z) \) jest argumentem \( z \)

Wyjaśnione Operacje

Poniżej znajdują się operacje, które możesz wykonać na liczbach zespolonych za pomocą tego kalkulatora, wraz z odpowiednimi formułami:

Dodawanie

Aby dodać dwie liczby zespolone w formie prostokątnej:

\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]

Odejmowanie

Aby odjąć jedną liczbę zespoloną od drugiej w formie prostokątnej:

\[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \]

Mnożenie

Aby pomnożyć dwie liczby zespolone w formie prostokątnej:

\[ (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

Alternatywnie, w formie polarnej:

\[ re^{i\theta} \times se^{i\phi} = (rs)e^{i(\theta + \phi)} \]

Dzielenie

Aby podzielić jedną liczbę zespoloną przez drugą w formie prostokątnej:

\[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \]

W formie polarnej:

\[ \frac{re^{i\theta}}{se^{i\phi}} = \left(\frac{r}{s}\right)e^{i(\theta - \phi)} \]

Moduł

Moduł liczby zespolonej \( z = a + bi \) jest obliczany jako:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Argument

Argument liczby zespolonej \( z = a + bi \) to kąt \( \theta \), jaki tworzy z dodatnią osią rzeczywistą, obliczany jako:

\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

Sprzężenie

Sprzężenie liczby zespolonej \( z = a + bi \) to:

\[ \overline{z} = a - bi \]

Konwersja z Prostokątnej do Polarnej

Aby przekonwertować liczbę zespoloną z formy prostokątnej do polarnej:

\[ z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] \[ z = re^{i\theta} \]

Konwersja z Polarnej do Prostokątnej

Aby przekonwertować liczbę zespoloną z formy polarnej do prostokątnej:

\[ z = re^{i\theta} \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta \] \[ z = a + bi \]

Potęga

Aby podnieść liczbę zespoloną \( z \) do całkowitej potęgi \( n \) w formie polarnej:

\[ z^n = \left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta} \]

W formie prostokątnej użyj rozwinięcia dwumianowego:

\[ (a + bi)^n \]

Pierwiastek

Aby znaleźć \( n \)-te pierwiastki liczby zespolonej \( z = re^{i\theta} \) w formie polarnej:

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \]

Jak Używać Kalkulatora Liczb Zespolonych

• Wprowadź pierwszą liczbę zespoloną w żądanym formacie (prostokątnym lub polarnym).
• Wybierz operację, którą chcesz wykonać.
• Jeśli wymagane, wprowadź drugą liczbę zespoloną.
• Określ formaty wejścia i wyjścia.
• Dla operacji takich jak Potęga lub Pierwiastek, podaj wymagany wykładnik.
• Kliknij "Oblicz", aby przetworzyć swoje dane wejściowe.
• Zobacz wynik wraz z rozwiązaniami krok po kroku i wykresami.

Zastosowania Liczb Zespolonych

Liczby zespolone są szeroko stosowane w różnych dziedzinach, takich jak:

• Inżynieria Elektryczna: Analiza obwodów prądu przemiennego.
• Fizyka Kwantowa: Opis stanów kwantowych.
• Przetwarzanie Sygnałów: Transformaty Fouriera i filtry.
• Systemy Sterowania: Analiza stabilności.
• Matematyka: Rozwiązywanie równań wielomianowych.

Dodatkowe Zasoby

Aby uzyskać więcej informacji na temat liczb zespolonych i ich zastosowań, sprawdź następujące zasoby:

• Liczba Zespolona - Wikipedia
• Wprowadzenie do liczb zespolonych - Khan Academy

Inne powiązane narzędzia:

Zaawansowane działania matematyczne:

• Kalkulator antylogów
• Kalkulator funkcji beta
• kalkulator współczynnika dwumianu
• Kalkulator Rozkładu Dwumianowego
• Kalkulator bitowy Polecane
• Kalkulator Twierdzenia Centralnego Granicznego
• kalkulator kombinacji
• Komplementarny kalkulator funkcji błędu
• Kalkulator Liczb Zespolonych Polecane
• Kalkulator Entropii Nowy
• Kalkulator funkcji błędu
• Kalkulator rozkładu wykładniczego (Wysoka precyzja)
• Kalkulator wzrostu wykładniczego (Wysoka precyzja)
• Kalkulator całki wykładniczej
• Kalkulator wykładników (Wysoka precyzja)
• Kalkulator Silni
• Kalkulator funkcji gamma
• Generuj sekwencję liczb na podstawie złotego podziału
• kalkulator półtrwania
• Kalkulator wzrostu procentowego
• Kalkulator permutacji
• Kalkulator Rozkładu Poissona Nowy
• Kalkulator Korzeni Wielomianów ze Szczegółowymi Krokami
• Kalkulator Prawdopodobieństwa
• Kalkulator Rozkładu Prawdopodobieństwa
• Kalkulator proporcji
• kalkulator formuły kwadratowej
• kalkulator notacji naukowej
• Kalkulator sumy kostek
• kalkulator sumy kolejnych liczb
• kalkulator sumy kwadratów