행렬 대각합 계산기

행렬 대각합 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 도구는 모든 정사각 행렬의 대각합(주대각선 성분의 합)을 계산해주는 대화형 도구입니다. 대각합은 단순해 보이지만 매우 중요한 성질을 갖습니다. 고윳값의 합과 같으며, 닮음 변환 하에서 변하지 않고, 양자 역학부터 머신러닝에 이르기까지 모든 분야에 등장합니다. 이 계산기는 단계별 계산 과정, 고윳값 검증, 행렬 거듭제곱의 대각합, 속성 탐지, 그리고 대각선을 강조하는 시각적 히트맵을 제공합니다.

행렬의 대각합(Trace)이란 무엇인가요?

n×n 행렬 A의 대각합(trace)은 tr(A)로 표기하며, 다음과 같이 대각 성분들의 합으로 정의됩니다:

정사각 행렬(행과 열의 수가 같음)만이 대각합을 가집니다. 행렬식(determinant)과 함께 행렬의 가장 기본적인 두 가지 스칼라 값 함수 중 하나입니다.

대각합과 고윳값

대각합의 가장 놀라운 성질 중 하나는 고윳값과의 연결 고리입니다:

이 관계는 고윳값이 복소수인 경우에도 성립합니다. 실수 행렬의 경우 허수 부분은 항상 서로 상쇄되어 대각합은 실수가 됨이 보장됩니다. 이 항등식은 대각합과 고윳값의 합이 모두 특성 다항식 \(\det(A - xI)\)의 \(x^{n-1}\) 항 계수에 -1을 곱한 것과 같다는 사실에서 비롯됩니다.

대각합의 주요 성질

선형성

대각합은 행렬 공간에서 선형 사상(linear functional)입니다:

• \(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)\)
• 모든 스칼라 c에 대해 \(\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)\)

순환 성질

대각합은 행렬 곱의 순환 치환에 대해 불변합니다:

주의: 이는 일반적으로 tr(ABC) = tr(BAC)임을 의미하지 않습니다. 오직 순환 치환만 허용됩니다.

닮음 불변성

만약 어떤 가역 행렬 P에 대해 B = P^-1AP라면, tr(B) = tr(A)입니다. 따라서 대각합은 닮음 불변량(similarity invariant)이며, 이는 기저의 선택에 의존하지 않음을 의미합니다.

전치 불변성

tr(A) = tr(A^T)입니다. 행렬을 전치해도 대각 성분은 변하지 않기 때문입니다.

프로베니우스 노름과의 관계

대각합의 응용

특수 행렬과 대각합

행렬 거듭제곱의 대각합과 뉴턴의 항등식

행렬 거듭제곱의 대각합 tr(A), tr(A²), tr(A³), ...은 고윳값 스펙트럼에 대한 모든 정보를 담고 있습니다. 뉴턴의 항등식을 통해 이러한 거듭제곱 대각합으로 전체 특성 다항식을 재구성할 수 있습니다:

즉, 대각합의 수열 {tr(A), tr(A²), ..., tr(Aⁿ)}은 행렬 A의 고윳값을 완전히 결정합니다.

자주 묻는 질문

행렬의 대각합이란 무엇인가요?

정사각 행렬 A의 대각합(trace)은 tr(A)로 표기하며, 주대각선에 위치한 성분들의 합을 의미합니다: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. 대각합은 정사각 행렬(n×n)에서만 정의됩니다. 대각합은 선형 대수학에서 가장 기본적인 행렬 불변량 중 하나입니다.

대각합과 고윳값은 어떤 관계가 있나요?

행렬의 대각합은 해당 행렬의 모든 고윳값의 합(대수적 중복도 포함)과 같습니다: tr(A) = λ₁ + λ₂ + ... + λ_n. 이는 대각합과 고윳값의 합이 모두 특성 다항식에서 x^n-1 항의 계수에 음의 부호를 붙인 것과 같기 때문입니다.

대각합의 주요 성질은 무엇인가요?

주요 성질: (1) 선형성: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) 전치 불변성: tr(A) = tr(A^T). (3) 순환 성질: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) 닮음 불변성: tr(P^-1AP) = tr(A). (5) tr(A^TA) = 모든 성분의 제곱 합 = ‖A‖²_F (프로베니우스 노름의 제곱).

선형 대수학에서 대각합이 왜 중요한가요?

대각합은 닮음 불변량으로, 기저가 바뀌어도 변하지 않습니다. 행렬식과 함께 대각합은 선형 변환의 특성을 나타냅니다. 물리학에서 대각합은 양자 역학(기댓값), 일반 상대성 이론(리치 스칼라), 통계 역학(분배 함수)에 등장합니다. 머신러닝에서는 정규화 및 커널 메서드에 사용됩니다.

대각합이 0인 행렬이란 무엇인가요?

대각합이 0인 행렬은 tr(A) = 0을 만족하며, 이는 대각 성분의 합이 0임을 의미합니다. 이러한 행렬들은 이론 물리학과 미분 기하학에서 핵심적인 역할을 하는 리 대수 sl(n)을 형성합니다. 모든 행렬은 A = (tr(A)/n)I + B 형태로 분해될 수 있으며, 여기서 B는 대각합이 0인 부분입니다.

행렬의 대각합은 어떻게 계산하나요?

대각합 계산 방법: (1) 행 인덱스와 열 인덱스가 같은 주대각선 성분 a₁₁, a₂₂, ..., a_nn을 찾습니다. (2) 이들을 모두 더합니다: tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn. 예를 들어, [[1,2],[3,4]]의 대각합은 1 + 4 = 5입니다.

추가 자료

• 대각합 (Trace) - Wikipedia
• 고윳값 알고리즘 - Wikipedia
• 특성 다항식 - Wikipedia