삼각형 수심 계산기

삼각형 수심 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 도구는 세 꼭짓점 좌표로부터 삼각형의 수심(세 수선의 교점)을 구하고, 수선, 오일러 선, 단계별 풀이 및 전체 삼각형 분석을 보여주는 라이브 다이어그램을 제공하는 대화형 도구입니다. 기하학을 공부하는 학생, 좌표 기하학을 다루는 엔지니어, 수학 애호가 등 누구에게나 이 계산기는 즉각적이고 시각적인 수심 계산을 도와줍니다.

삼각형의 수심이란 무엇인가요?

삼각형의 수심은 세 수선이 모두 교차하는 점입니다. 수선은 꼭짓점에서 마주 보는 변(또는 그 연장선)에 수직으로 그은 선분입니다. 수심은 무게중심, 외심, 내심과 함께 삼각형의 네 가지 고전적 삼각형의 중심 중 하나입니다.

수심 공식

꼭짓점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 갖는 삼각형의 경우, 수심 H(Hx, Hy)는 다음과 같은 수직 방정식 시스템을 풀어 구할 수 있습니다:

이는 두 개의 미지수(Hx 및 Hy)에 대한 선형 시스템을 생성하며, 크라메르 법칙이나 대입법을 통해 풀 수 있습니다.

수심은 어디에 위치하나요?

무게중심(항상 내부에 위치)과 달리 수심의 위치는 삼각형의 유형에 따라 달라집니다:

• 예각 삼각형: 수심은 삼각형 내부에 위치합니다.
• 직각 삼각형: 수심은 직각이 있는 꼭짓점과 일치합니다.
• 둔각 삼각형: 수심은 삼각형 외부, 둔각의 대변 너머에 위치합니다.

오일러 선

정삼각형이 아닌 모든 삼각형에서 세 가지 중요한 중심은 오일러 선 위에 일직선으로 놓여 있습니다:

• 외심 (O) — 외접원의 중심
• 무게중심 (G) — 질량 중심 (중선의 교점)
• 수심 (H) — 수선의 교점

무게중심은 O로부터 선분 OH를 1:2 비율로 나눕니다. 즉, OG:GH = 1:2입니다. 이 강력한 관계는 서로 관련 없어 보이는 세 가지 삼각형의 속성을 연결합니다.

이 계산기 사용 방법

1. 좌표 입력: 꼭짓점 A, B, C에 대한 x 및 y 값을 입력합니다. 음수와 소수도 지원됩니다.
2. 정밀도 선택: 원하는 소수점 자릿수(2~10)를 선택합니다.
3. 계산하기 클릭: 수심 H = (Hx, Hy)가 상세 분석 및 대화형 다이어그램과 함께 표시됩니다.
4. 다이어그램 탐색: 삼각형, 직각 표시가 있는 색상별 세 수선, 수선의 발, 애니메이션 수심, 그리고 H, G, O를 연결하는 오일러 선을 확인하세요.

수심 vs 기타 삼각형의 중심

수심의 성질

• 수선의 공점성: 모든 삼각형의 세 수선은 항상 한 점(수심)에서 만납니다. 이는 체바의 정리의 결과입니다.
• 오일러 선: H, G, O는 일직선상에 있습니다 (세 점이 일치하는 정삼각형 제외).
• 대칭 성질: 임의의 변의 중점에 대해 수심을 대칭 이동하면 외접원 위에 놓이게 됩니다.
• 수심계: H가 삼각형 ABC의 수심이면, 각 꼭짓점은 나머지 두 꼭짓점과 H로 형성된 삼각형의 수심이 됩니다.
• 거리 관계: 수심에서 꼭짓점까지의 거리의 합은 외심에서 꼭짓점까지의 거리 합의 두 배와 같습니다.

자주 묻는 질문

삼각형의 수심이란 무엇인가요?

수심은 삼각형의 세 수선이 만나는 점입니다. 수선은 꼭짓점에서 대변으로 내린 수직 선분입니다. 이는 네 가지 고전적 삼각형 중심 중 하나이며 오일러 선 위에 있습니다.

좌표를 사용하여 삼각형의 수심을 어떻게 구하나요?

내적 조건을 사용하여 두 개의 수직 방정식을 설정합니다: AH·BC = 0 및 BH·AC = 0. 이를 통해 크라메르 법칙으로 수심 좌표 (Hx, Hy)를 구하는 2×2 선형 시스템을 얻습니다. 이 계산기는 이 모든 단계를 자동으로 수행합니다.

수심은 항상 삼각형 내부에 있나요?

아니요. 수심은 예각 삼각형의 경우에만 내부에 있습니다. 직각 삼각형의 경우 직각 꼭짓점에 위치하며, 둔각 삼각형의 경우 삼각형 외부에 위치합니다. 이것이 수심을 다른 삼각형 중심들 사이에서 독특하게 만드는 점입니다.

오일러 선이란 무엇인가요?

오일러 선은 외심(O), 무게중심(G), 수심(H)의 세 가지 삼각형 중심을 통과하는 직선입니다. 무게중심은 O로부터 선분 OH를 1:2 비율로 나눕니다. 정삼각형의 경우 세 점이 모두 일치하므로 고유한 직선이 존재하지 않습니다.

수심과 무게중심의 차이점은 무엇인가요?

수심은 세 수선(대변에 수직인 선)이 만나는 곳이고, 무게중심은 세 중선(대변의 중점으로 잇는 선)이 만나는 곳입니다. 무게중심은 항상 삼각형 내부에 있으며 질량 중심입니다. 수심은 둔각 삼각형의 경우 외부에 있을 수 있습니다.

추가 리소스

• 수선 (삼각형) - 위키백과
• 오일러 직선 - 위키백과
• 삼각형의 중심 (영문) - Wikipedia