Kalkulator ułamków łańcuchowych

Witaj w Kalkulatorze ułamków łańcuchowych — potężnym narzędziu, które zamienia dowolną liczbę dziesiętną, ułamek zwykły lub pierwiastek kwadratowy na jego reprezentację w postaci ułamka łańcuchowego. Zobacz słynny zapis [a₀; a₁, a₂, ...], poznaj przybliżenia wymierne (aproksymanty) i interaktywnie wizualizuj strukturę ułamka piętrowego.

Co to jest ułamek łańcuchowy?

Ułamek łańcuchowy (ciągły) to sposób zapisu liczby jako zagnieżdżonej sekwencji części całkowitych i ułamków:

Gdzie a₀, a₁, a₂, ... są nieujemnymi liczbami całkowitymi zwanymi ilorazami częściowymi. Standardowy zapis to [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]. Kilka niezwykłych przykładów:

• π (pi) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — liczba 292 oznacza, że pi jest niezwykle dobrze przybliżane przez 355/113
• φ (złota proporcja) = [1; 1, 1, 1, ...] — najwolniej zbieżny ułamek łańcuchowy
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — okresowy, zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — piękny wzór

Jak działa algorytm

Dla dowolnej liczby dziesiętnej x

1. Oblicz a₀ = ⌊x⌋ (część całkowita x)
2. Ustaw x₁ = 1/(x − a₀), następnie oblicz a₁ = ⌊x₁⌋
3. Powtarzaj: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. Zatrzymaj się, gdy część ułamkowa wyniesie zero (liczba wymierna) lub gdy uzyskasz wystarczającą liczbę wyrazów

Dla ułamka p/q (Algorytm Euklidesa)

Dla ułamka zwykłego algorytm jest identyczny z algorytmem Euklidesa dla NWD:

Każdy krok dzielenia w algorytmie Euklidesa generuje jeden iloraz częściowy ułamka łańcuchowego.

Aproksymanty: Najlepsze przybliżenia wymierne

Aproksymanty (redukty) pₙ/qₙ otrzymuje się przez ucięcie ułamka łańcuchowego na danym kroku. Posiadają one niezwykłą właściwość: pₙ/qₙ jest najlepszym przybliżeniem wymiernym liczby x o mianowniku ≤ qₙ.

Okresowe ułamki łańcuchowe

Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a, liczba rzeczywista ma okresowy ułamek łańcuchowy wtedy i tylko wtedy, gdy jest niewymiernością kwadratową (rozwiązaniem równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych). Dotyczy to wszystkich pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych niebędących kwadratami doskonałymi.

• √2 = [1; 2] — okres o długości 1
• √3 = [1; 1, 2] — okres o długości 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — okres o długości 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — okres o długości 16

Jak korzystać z tego kalkulatora

1. Wprowadź wartość: liczbę dziesiętną (np. 2.71828), ułamek (np. 355/113) lub pierwiastek kwadratowy (np. sqrt(7))
2. Ustaw maksymalną liczbę wyrazów: więcej wyrazów da więcej ilorazów częściowych i aproksymant
3. Kliknij Oblicz: zobacz zapis ułamka łańcuchowego, animowane wyrazy, wizualizację piętrową, tabelę aproksymant i kroki algorytmu Euklidesa (dla ułamków)

Często zadawane pytania

Co to jest ułamek łańcuchowy?

Ułamek łańcuchowy to wyrażenie postaci a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)), gdzie a₀, a₁, a₂, ... są liczbami całkowitymi zwanymi ilorazami częściowymi. Każda liczba rzeczywista posiada rozwinięcie w ułamek łańcuchowy. Liczby wymierne mają rozwinięcia skończone, a niewymierne — nieskończone. Niewymierności kwadratowe (jak pierwiastki kwadratowe) mają rozwinięcia okresowe.

Jak zamienić liczbę dziesiętną na ułamek łańcuchowy?

Przyjmij część całkowitą jako pierwszy wyraz. Odejmij ją od liczby, weź odwrotność i powtórz czynność. Na przykład dla π ≈ 3.14159...: część całkowita = 3, reszta = 0.14159..., odwrotność = 7.062..., część całkowita = 7, reszta = 0.062..., odwrotność = 15.996..., część całkowita = 15, co daje [3; 7, 15, ...].

Dlaczego sqrt(2) ma okresowy ułamek łańcuchowy?

Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a, liczba rzeczywista ma okresowy ułamek łańcuchowy dokładnie wtedy, gdy jest niewymiernością kwadratową. √2 spełnia równanie x² = 2, więc jest niewymiernością kwadratową, co daje [1; 2, 2, 2, ...]. Złota proporcja φ = (1 + √5)/2 daje [1; 1, 1, 1, ...] — najprostszy możliwy okres.

Czym są aproksymanty i dlaczego są ważne?

Aproksymanty to ułamki otrzymane przez ucięcie ułamka łańcuchowego. Są to najlepsze przybliżenia wymierne — żaden ułamek o mniejszym mianowniku nie znajduje się bliżej liczby docelowej. Dlatego 22/7 i 355/113 są słynnymi przybliżeniami liczby π: są to aproksymanty jej ułamka łańcuchowego.

Jak algorytm ułamków łańcuchowych wiąże się z algorytmem Euklidesa?

Gdy danymi wejściowymi jest ułamek p/q, obliczanie ułamka łańcuchowego jest identyczne z algorytmem Euklidesa dla NWD. Każdy krok dzielenia z resztą generuje dokładnie jeden iloraz częściowy. Ułamek łańcuchowy kończy się dokładnie w momencie znalezienia NWD.

Dodatkowe zasoby

• Ułamek łańcuchowy - Wikipedia
• Aproksymanta - Wikipedia
• Algorytm Euklidesa - Wikipedia