확률 분포 계산기

확률 분포 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 도구는 다양한 확률 분포에 대한 확률, 누적 확률(CDF) 및 분위수(역 CDF)를 계산하기 위한 포괄적인 통계 도구입니다. 통계를 배우는 학생, 데이터를 분석하는 연구원, 통계 모델을 다루는 전문가 모두에게 이 계산기는 확률 분포를 이해하는 데 도움이 되는 상세한 단계별 솔루션과 대화형 시각화를 제공합니다.

지원되는 확률 분포

이 계산기는 다양한 유형의 무작위 현상에 적합한 7가지의 흔히 사용되는 확률 분포를 지원합니다.

PDF, CDF 및 분위수 함수의 이해

확률 밀도/질량 함수 (PDF/PMF)

PDF(연속 분포의 경우) 또는 PMF(이산 분포의 경우)는 확률 변수가 특정 값을 가질 상대적 가능성을 제공합니다. 연속 분포의 경우 PDF 값 자체는 확률이 아니라 밀도이며, 확률은 특정 구간에서 PDF를 적분하여 찾습니다.

누적 분포 함수 (CDF)

F(x)로 표시되는 CDF는 확률 변수 X가 값 x보다 작거나 같을 확률을 제공합니다. 이는 P(X ≤ x)로 표기됩니다. CDF는 x가 증가함에 따라 항상 0에서 1로 증가합니다.

분위수 함수 (역 CDF)

분위수 함수(백분율 점수 함수 또는 역 CDF라고도 함)는 P(X ≤ x) = p를 만족하는 값 x를 찾습니다. 이는 "분포의 (1-p)×100%만이 초과하는 값은 무엇인가?"라는 질문에 답합니다. 가설 검정에서 임계값을 찾는 데 필수적입니다.

분포 공식

정규 분포

정규(가우스) 분포는 평균 μ(중심)와 표준 편차 σ(퍼짐 정도)로 특징지어지는 대칭형 종 모양 분포입니다.

• PDF: \( f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \)
• 분위수: \( x = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p) \)

이항 분포

각각 성공 확률 p를 갖는 n번의 독립적인 시행에서 성공 횟수를 모델링합니다.

• PMF: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• CDF: \( F(k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)

포아송 분포

사건이 일정한 평균 발생률 λ로 발생할 때, 고정된 구간에서의 사건 횟수를 모델링합니다.

• PMF: \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i}{i!} \)

지수 분포

발생률 λ인 포아송 과정에서 사건 사이의 시간을 모델링합니다.

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) (x ≥ 0일 때)
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \)
• 분위수: \( x = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda} \)

카이제곱 분포

표준 정규 변수들의 제곱합으로 통계학에서 나타납니다. 분산에 대한 가설 검정 및 신뢰 구간에 사용됩니다.

• PDF: \( f(x) = \frac{x^{k/2-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \) (x > 0일 때)

스튜던트 t 분포

정규 분포와 유사하지만 꼬리가 더 두껍습니다. 표본 크기가 작거나 모집단 분산을 모를 때 모집단 평균에 대한 추론에 사용됩니다.

• PDF: \( f(x) = \frac{Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}} \)

이 계산기 사용 방법

1. 분포 선택: 데이터 또는 문제와 일치하는 분포 카드를 클릭하세요. 각 카드는 분포 유형(연속형 또는 이산형)을 보여줍니다.
2. 계산 유형 선택: 특정 지점의 확률은 PDF/PMF, 누적 확률은 CDF, 주어진 확률에 대한 값을 찾으려면 분위수를 선택하세요.
3. 매개변수 입력: 분포 매개변수를 입력합니다. 양식은 선택한 분포에 적합한 매개변수만 동적으로 표시합니다.
4. 값 또는 확률 입력: PDF/CDF의 경우 x값(이산형은 k)을 입력합니다. 분위수의 경우 0과 1 사이의 확률을 입력합니다.
5. 결과 확인: 계산된 결과, 단계별 수학적 유도 과정 및 대화형 분포 시각화를 확인하세요.

자주 묻는 질문

확률 분포란 무엇인가요?

확률 분포는 확률 변수의 다양한 가능한 결과에 대한 가능성을 설명하는 수학적 함수입니다. 셀 수 있는 결과에 대한 이산형(이항 또는 포아송 등) 또는 범위 내의 모든 값을 가질 수 있는 결과에 대한 연속형(정규 또는 지수 등)일 수 있습니다.

PDF와 CDF의 차이점은 무엇인가요?

PDF(확률 밀도 함수) 또는 PMF(확률 질량 함수)는 특정 지점에서의 확률 밀도를 제공합니다. 이산 분포의 경우 PMF는 정확한 확률 P(X=k)를 제공합니다. CDF(누적 분포 함수)는 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같을 확률인 P(X≤x)를 제공합니다. CDF는 PDF/PMF의 누적 합계 또는 적분입니다.

정규 분포는 언제 사용해야 하나요?

정규 분포는 평균값을 중심으로 대칭적으로 분포된 연속 데이터에 적합합니다. 키, 시험 점수, 측정 오차 및 많은 생물학적 변수와 같은 현상에 흔히 사용됩니다. 중심 극한 정리에 따르면 모집단 분포에 관계없이 표본 평균은 정규 분포를 따르는 경향이 있습니다.

분위수 함수란 무엇인가요?

분위수 함수(역 CDF 또는 백분율 점수 함수라고도 함)는 P(X≤x) = p를 만족하는 값 x를 찾습니다. 예를 들어, 분포의 95번째 백분위수(p=0.95)는 관측치의 95%가 그 아래에 위치하는 값을 의미합니다.

서로 다른 분포 중에서 어떻게 선택하나요?

데이터 특성에 따라 선택하세요: 평균 중심의 대칭 연속 데이터는 정규 분포, 고정된 시행 횟수에서 성공 횟수를 셀 때는 이항 분포, 고정된 구간에서 드문 사건의 횟수를 셀 때는 포아송 분포, 사건 사이의 시간은 지수 분포, 일정 범위 내의 균등한 확률은 균등 분포, 분산 검정에는 카이제곱 분포, 모집단 분산을 모르는 소표본의 경우 스튜던트 t 분포를 선택하십시오.

추가 리소스

• 확률 분포 - 위키백과
• 정규 분포 - 위키백과
• 통계학 및 확률 - 칸아카데미