라플라스 변환 계산기
상세한 단계별 솔루션, 대화형 함수 프리셋, 시간 영역 및 주파수 영역 함수의 이중 시각화를 통해 라플라스 변환을 즉시 계산합니다.
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라플라스 변환 계산기 정보
단계별 솔루션과 시각적 분석을 통해 라플라스 변환을 계산하는 강력한 수학 도구인 라플라스 변환 계산기에 오신 것을 환영합니다. 공학도, 물리학자 또는 연구자이든 이 계산기는 복잡한 적분 변환을 단순화하고 시간 영역에서 주파수 영역으로의 변환을 이해하는 데 도움을 줍니다.
라플라스 변환이란 무엇입니까?
라플라스 변환은 시간 함수 \( f(t) \)를 복소 주파수 함수 \( F(s) \)로 변환하는 적분 변환입니다. 피에르 시몽 라플라스의 이름을 딴 이 수학적 연산은 미분 방정식을 풀고 시스템을 분석하기 위한 공학, 물리학 및 응용 수학의 기초입니다.
이 변환은 시간 영역에서의 미분과 적분을 s-영역에서의 단순한 대수 연산으로 변환하여 복잡한 문제를 해결하는 데 매우 유용합니다.
라플라스 변환의 주요 속성
이러한 속성을 이해하면 라플라스 변환을 효율적으로 작업하는 데 도움이 됩니다.
| 속성 | 시간 영역 | s-영역 |
|---|---|---|
| 선형성 | \( af(t) + bg(t) \) | \( aF(s) + bG(s) \) |
| 1계 미분 | \( f'(t) \) | \( sF(s) - f(0) \) |
| 2계 미분 | \( f''(t) \) | \( s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \) |
| 적분 | \( \int_0^t f(\tau)d\tau \) | \( \frac{F(s)}{s} \) |
| 시간 이동 | \( f(t-a)u(t-a) \) | \( e^{-as}F(s) \) |
| 주파수 이동 | \( e^{at}f(t) \) | \( F(s-a) \) |
| 합성곱 | \( (f * g)(t) \) | \( F(s) \cdot G(s) \) |
| 초깃값 | \( f(0^+) \) | \( \lim_{s\to\infty} sF(s) \) |
| 최종값 | \( \lim_{t\to\infty} f(t) \) | \( \lim_{s\to 0} sF(s) \) |
일반적인 라플라스 변환 쌍
자주 사용되는 변환 쌍의 참조 표는 다음과 같습니다.
변환 참조 표
| f(t) | F(s) | 설명 |
|---|---|---|
1 |
1/s |
단위 계단 (상수) |
t |
1/s² |
램프 함수 |
t^n |
n!/s^(n+1) |
거듭제곱 함수 |
exp(a*t) |
1/(s-a) |
지수 함수 |
sin(b*t) |
b/(s²+b²) |
사인 함수 |
cos(b*t) |
s/(s²+b²) |
코사인 함수 |
exp(-a*t)*sin(b*t) |
b/((s+a)²+b²) |
감쇠 사인 |
exp(-a*t)*cos(b*t) |
(s+a)/((s+a)²+b²) |
감쇠 코사인 |
t*exp(a*t) |
1/(s-a)² |
t 곱하기 지수 |
sinh(a*t) |
a/(s²-a²) |
쌍곡 사인 |
cosh(a*t) |
s/(s²-a²) |
쌍곡 코사인 |
이 계산기 사용 방법
- 함수 입력: 변수
t를 사용하여 시간 영역 함수 \( f(t) \)를 입력합니다.exp(-2*t)*sin(3*t)와 같은 표준 표기법을 사용합니다. - 프리셋 사용: 프리셋 버튼을 클릭하여 테스트 또는 학습을 위한 일반적인 함수를 빠르게 로드합니다.
- 계산: "라플라스 변환 계산"을 클릭하여 \( F(s) \)를 기호적으로 계산합니다.
- 결과 검토: 결과 \( F(s) \), 단계별 유도 및 그래픽 시각화를 확인합니다.
- 분석: 시간 영역 및 주파수 영역 표현을 모두 보여주는 이중 도표를 연구합니다.
지원되는 함수 및 구문
exp(x)- 지수 함수 \( e^x \)sin(x),cos(x),tan(x)- 삼각 함수sinh(x),cosh(x),tanh(x)- 쌍곡선 함수sqrt(x)- 제곱근 \( \sqrt{x} \)log(x)또는ln(x)- 자연 로그t^n또는t**n- 거듭제곱 함수- 곱셈에는
*, 나눗셈에는/ - 그룹화에는 괄호
()
라플라스 변환의 응용
공학 응용
- 제어 시스템: 전달 함수, 안정성 및 시스템 응답 분석
- 전기 회로: RLC 회로 풀이 및 과도 현상 분석
- 기계 시스템: 진동, 감쇠 및 강제 진동 모델링
- 신호 처리: 필터 설계 및 주파수 응답 분석
물리학 응용
- 열 전달: 확산 방정식 풀이
- 양자 역학: 시간에 따른 슈뢰딩거 방정식 해법
- 전자기학: 파동 전파 및 전송선 분석
수학 응용
- 미분 방정식: 상미분 방정식을 대수 방정식으로 변환
- 적분 방정식: 볼테라 및 프레드홀름 방정식 풀이
- 특수 함수: 베셀, 르장드르 및 기타 함수의 속성 유도
수렴 영역(ROC) 이해하기
수렴 영역(ROC)은 라플라스 변환 적분이 수렴하는 \( s \) 값의 집합입니다. ROC는 다음에 필수적입니다.
- 시스템이 안정적인지 여부 결정(ROC에 허수축 포함)
- 변환에서 원래 함수를 고유하게 식별
- 인과 신호와 비인과 신호 구별
인과 신호(\( t < 0 \)일 때 함수가 0인 경우)의 경우 ROC는 s-평면에서 가장 오른쪽에 있는 극점의 오른쪽으로 확장됩니다.
역 라플라스 변환
역 라플라스 변환은 s-영역 표현에서 원래 시간 영역 함수를 복원합니다.
실제로는 부분 분수 분해와 알려진 변환 쌍의 조회표를 사용하여 역변환을 계산하는 경우가 많습니다.
자주 묻는 질문
라플라스 변환이란 무엇입니까?
라플라스 변환은 시간 함수 \( f(t) \)를 복소 주파수 함수 \( F(s) \)로 변환하는 적분 변환입니다. \( F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)로 정의됩니다. 이 변환은 공학 및 물리학에서 미분 방정식을 풀고 선형 시불변 시스템을 분석하는 데 널리 사용됩니다.
라플라스 변환은 언제 사용해야 합니까?
라플라스 변환은 상수 계수를 갖는 선형 상미분 방정식을 풀고, 제어 시스템 및 회로 동작을 분석하며, 신호 처리 및 시스템 응답을 연구하고, 복잡한 시간 영역 문제를 s-영역의 단순한 대수 문제로 변환하며, 극점 위치를 통해 시스템 안정성을 분석하는 데 특히 유용합니다.
수렴 영역(ROC)이란 무엇입니까?
수렴 영역(ROC)은 라플라스 변환 적분이 수렴하는 \( s \) 값의 집합입니다. ROC는 시스템 안정성을 결정하고 변환에서 원래 함수를 고유하게 식별하는 데 중요합니다. 일반적으로 인과 신호의 경우 ROC는 가장 오른쪽에 있는 극점의 오른쪽으로 확장됩니다.
이 계산기에서 함수를 어떻게 입력합니까?
시간 변수로 t를 사용하는 표준 수학 표기법을 사용하십시오. 지원되는 함수는 다음과 같습니다: 지수의 경우 exp(x), 삼각 함수의 경우 sin(x) 및 cos(x), 쌍곡선 함수의 경우 sinh(x) 및 cosh(x), 제곱근의 경우 sqrt(x), 자연 로그의 경우 log(x) 또는 ln(x). 곱셈에는 *, 거듭제곱에는 ^ 또는 **, 그룹화에는 괄호를 사용하십시오.
라플라스 변환의 주요 속성은 무엇입니까?
주요 속성으로는 선형성, 시간 이동, 주파수 이동, 미분(미분을 s를 곱하는 것으로 변환), 적분(적분을 s로 나누는 것으로 변환) 및 합성곱(합성곱을 곱셈으로 변환)이 있습니다. 이러한 속성으로 인해 라플라스 변환은 미분 방정식을 푸는 데 매우 강력합니다.
라플라스 변환과 푸리에 변환의 관계는 무엇입니까?
푸리에 변환은 \( s = j\omega \)(순수 허수)인 라플라스 변환의 특수한 경우입니다. 라플라스 변환은 더 일반적이며 지수적으로 증가하는 함수를 처리할 수 있는 반면, 푸리에 변환은 함수가 절대 적분 가능해야 합니다. 공학 응용 분야에서는 단방향 라플라스 변환(0에서 시작)이 가장 일반적입니다.
추가 리소스
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miniwebtool 팀 제작. 업데이트 날짜: 2026년 1월 19일
또한 저희의 AI 수학 해결사 GPT를 사용하여 자연어 질문과 답변으로 수학 문제를 해결할 수 있습니다.