극한 계산기

Q: 미적분에서 극한이란 무엇입니까?

극한은 입력값이 특정 값에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값을 설명합니다. lim(x→a) f(x)로 표기하며 미적분의 기초가 되며 미분과 적분의 토대를 형성합니다.

Q: 극한 계산기에 무한대를 어떻게 입력합니까?

극한 점 필드에 무한대를 입력하려면 'oo'(소문자 o 두 개), 'inf' 또는 'infinity'를 입력하십시오. 음의 무한대의 경우 '-oo', '-inf' 또는 '-infinity'를 사용하십시오. π에는 'pi', 오일러 수에는 'e'를 사용할 수도 있습니다.

수학 함수의 극한을 상세한 단계별 풀이와 함께 계산합니다. 단측 극한, 부정형, 로피탈의 정리를 지원합니다.

극한 계산기

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함수 f(x) - sin, cos, exp, ln, sqrt, ^ 사용

변수

극한 점 (a) - ∞에는 oo, -∞에는 -oo, pi, e 사용

접근 방향

양측 양방향 극한

우측에서 x → a⁺

좌측에서 x → a⁻

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극한 계산기 정보

극한 계산기에 오신 것을 환영합니다. 상세한 단계별 풀이를 제공하여 수학적 극한을 계산하는 종합적인 도구입니다. 미적분을 배우는 학생, 수업을 준비하는 교사, 또는 빠른 극한 계산이 필요한 전문가 모두에게 이 계산기는 정확한 결과와 각 단계의 명확한 설명을 제공합니다.

미적분에서 극한이란 무엇입니까?

극한은 입력값(보통 $x$로 표기)이 특정 값에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값을 설명합니다. 극한의 개념은 미적분의 기초이며 미분, 적분 및 연속성을 이해하는 토대를 형성합니다.

극한의 정의

$x$가 $a$에 가까워질 때 함수 $f(x)$의 극한은 $x$가 $a$에 임의로 가까워질 때 $f(x)$가 임의로 가까워지는 값 $L$입니다. 공식적으로 다음과 같이 표기합니다: $$\\lim_{x \to a} f(x) = L$$

극한의 유형

양측 극한

양측 극한은 $x$가 왼쪽과 오른쪽 양방향에서 $a$에 접근할 때의 함수의 동작을 고려합니다. 극한이 존재하려면 함수가 양방향에서 동일한 값에 접근해야 합니다:

$$\\lim_{x \to a^-} f(x) = \\lim_{x \to a^+} f(x) = L$$

단측 극한

좌극한 (왼쪽에서): $\\lim_{x \to a^-} f(x)$ - $x$가 $a$보다 작은 값에서 $a$에 접근할 때 $f(x)$가 접근하는 값
우극한 (오른쪽에서): $\\lim_{x \to a^+} f(x)$ - $x$가 $a$보다 큰 값에서 $a$에 접근할 때 $f(x)$가 접근하는 값

무한대에서의 극한

함수의 장기적인 동작을 이해하기 위해 $x$가 양의 무한대 또는 음의 무한대에 접근할 때의 극한을 평가할 수도 있습니다:

$$\\lim_{x \to \infty} f(x) \quad \text{또는} \quad \\lim_{x \to -\infty} f(x)$$

부정형

직접 대입했을 때 정의되지 않는 식이 나타나면 부정형을 만난 것입니다. 이들은 평가하기 위해 특별한 기술이 필요합니다:

형태	설명	일반적인 해결법
0/0	0 나누기 0	로피탈의 정리, 인수분해, 유리화
∞/∞	무한대 나누기 무한대	로피탈의 정리, 최고차항으로 나누기
0 × ∞	0 곱하기 무한대	0/0 또는 ∞/∞ 형태로 고치기
∞ - ∞	무한대 빼기 무한대	분수 결합, 유리화
0⁰	0의 0제곱	로그 변환
1^∞	1의 무한대 제곱	로그 변환
∞⁰	무한대의 0제곱	로그 변환

로피탈의 정리

로피탈의 정리는 $\\frac{0}{0}$ 또는 $\\frac{\\infty}{\\infty}$ 형태의 부정형 극한을 평가하기 위한 강력한 기술입니다:

로피탈의 정리

$\\lim_{x \to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$가 $\\frac{0}{0}$ 또는 $\\frac{\\infty}{\\infty}$를 나타내면 다음과 같습니다: $$\\lim_{x \to a} \\frac{f(x)}{g(x)} = \\lim_{x \to a} \\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ 단, 우변의 극한이 존재해야 합니다. 이 정리는 필요에 따라 반복적으로 적용할 수 있습니다.

이 극한 계산기 사용 방법

함수 입력: 표현식 필드에 수학 함수를 입력하십시오. sin(x), cos(x), e^x, ln(x), x^2, sqrt(x) 등과 같은 표준 표기법을 사용하십시오.
변수 지정: 함수에 사용된 변수(보통 x)를 입력하십시오. t, n, theta와 같은 모든 문자가 가능합니다.
극한 점 입력: 변수가 접근하는 값을 입력하십시오. 무한대에는 "oo", 음의 무한대에는 "-oo", 또는 0, 1, pi와 같은 숫자를 입력하십시오.
방향 선택: 양측 극한(양방향), 우극한(우측에서), 좌극한(좌측에서) 중 계산할 방향을 선택하십시오.
계산 및 검토: "극한 계산"을 클릭하여 결과를 확인하십시오. 극한이 어떻게 계산되었는지 이해하기 위해 단계별 풀이를 검토하십시오.

알아야 할 일반적인 극한

미적분에서 자주 등장하는 몇 가지 기본적인 극한은 다음과 같습니다:

$\\displaystyle\\lim_{x \to 0} \\frac{\\sin(x)}{x} = 1$
$\\displaystyle\\lim_{x \to 0} \\frac{1 - \\cos(x)}{x} = 0$
$\\displaystyle\\lim_{x \to 0} \\frac{e^x - 1}{x} = 1$
$\\displaystyle\\lim_{x \to \\infty} \\left(1 + \\frac{1}{x}\\right)^x = e$ ($e$의 정의)
$\\displaystyle\\lim_{x \to 0^+} x \\ln(x) = 0$
$\\displaystyle\\lim_{x \to \\infty} \\frac{\\ln(x)}{x} = 0$ (로그는 다항식보다 느리게 증가합니다)

입력 구문 가이드

표현식을 입력할 때 다음 구문을 사용하십시오:

기본 연산: +, -, *, /, ^ (거듭제곱)
함수: sin(x), cos(x), tan(x), exp(x) 또는 e^x, ln(x), log(x), sqrt(x)
상수: pi, e, oo (무한대)
괄호: 표현식을 그룹화하려면 괄호를 사용하십시오: (x^2 - 4)/(x - 2)

자주 묻는 질문

미적분에서 극한이란 무엇입니까?

극한은 입력값이 특정 값에 가까워질 때 함수가 가까워지는 값을 설명합니다. $\\lim_{x \to a} f(x)$로 표기하며 미적분의 기초가 되며 미분과 적분의 토대를 형성합니다.

부정형이란 무엇입니까?

부정형은 극한에서 직접 대입했을 때 0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞-∞, 0^0, 1^∞, ∞^0과 같이 정의되지 않는 식이 나타날 때 발생합니다. 이러한 형태를 평가하려면 로피탈의 정리나 대수적 조작과 같은 특별한 기술이 필요합니다.

로피탈의 정리란 무엇입니까?

로피탈의 정리는 0/0 또는 ∞/∞ 형태의 극한에 대해 f(x)/g(x)의 극한이 f'(x)/g'(x)의 극한과 같다는 것을 나타냅니다. 여기서 f'와 g'는 도함수입니다. 이 정리는 부정형이 해결될 때까지 반복적으로 적용할 수 있습니다.

단측 극한과 양측 극한의 차이점은 무엇입니까?

양측 극한은 x가 양방향에서 값에 접근할 때의 함수의 동작을 고려합니다. 단측 극한은 한 방향에서의 접근만 고려합니다: 좌극한 (x→a⁻) 또는 우극한 (x→a⁺). 양측 극한은 양쪽 단측 극한이 모두 존재하고 같을 때만 존재합니다.

극한 계산기에 무한대를 어떻게 입력합니까?

극한 점 필드에 무한대를 입력하려면 "oo"(소문자 o 두 개), "inf" 또는 "infinity"를 입력하십시오. 음의 무한대의 경우 "-oo", "-inf" 또는 "-infinity"를 사용하십시오. π에는 "pi", 오일러 수에는 "e"를 사용할 수도 있습니다.