행복한 수 계산기

유희 수학의 가장 즐거운 개념 중 하나를 탐구할 수 있는 대화형 도구인 행복한 수 계산기에 오신 것을 환영합니다. 양의 정수를 입력하고 자릿수 제곱의 여정이 단계별로 펼쳐지는 것을 보면서 그 숫자가 행복한 수인지 확인해 보세요. 애니메이션 시각화, 궤적 차트 및 상세 분석을 통해 숫자가 어떻게 행복에 도달하는지, 혹은 끝없는 주기에 빠지는지 쉽게 이해할 수 있습니다.

행복한 수란 무엇인가요?

행복한 수는 각 자릿수의 제곱의 합으로 숫자를 반복해서 바꿀 때 최종적으로 1에 도달하는 양의 정수입니다. 숫자가 결코 1에 도달하지 못하고 대신 무한한 주기에 빠지면 이를 불행한 수(또는 슬픈 수)라고 합니다.

과정

여기서 \(d_i\)는 \(n\)의 개별 자릿수입니다. 예시:

• 19: 1² + 9² = 1 + 81 = 82 → 8² + 2² = 64 + 4 = 68 → 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → 1² + 0² + 0² = 1 ✔ 행복!
• 2: 2² = 4 → 4² = 16 → 1² + 6² = 37 → ... → 주기에 진입함 ✘ 불행

불행한 주기의 특징

모든 불행한 수는 결국 동일한 8개 숫자의 주기에 진입합니다:

이 놀라운 사실은 시퀀스가 4에 도달하는지만 확인하면 해당 숫자가 불행한 수임을 판별할 수 있음을 의미합니다. 10진법의 자릿수 제곱 과정에는 이 외에 다른 주기가 존재하지 않습니다.

이 계산기 사용 방법

1. 숫자 입력: 입력란에 양의 정수를 입력하세요. 전형적인 행복한 수와 불행한 수에 대한 빠른 예제를 시도해 볼 수 있습니다.
2. 모드 선택: 하나의 숫자를 깊이 있게 분석하려면 "단일 숫자 확인"을 사용하고, 1부터 N까지의 모든 행복한 수를 찾으려면 "범위 내 모든 행복한 수 찾기"를 선택하세요.
3. 결과 분석: "숫자 확인"을 클릭하여 전체 자릿수 제곱 시퀀스, 대화형 궤적 차트 및 단계별 분석을 확인하세요.
4. 패턴 탐구: 다양한 숫자를 시도하여 행복한 수와 자릿수 패턴 사이의 관계를 발견해 보세요.

100 미만의 행복한 수

1과 100 사이에는 정확히 20개의 행복한 수가 있습니다:

행복한 수의 흥미로운 속성

자릿수 순열 불변성

어떤 숫자가 행복한 수라면, 그 자릿수를 어떻게 재배열해도 역시 행복한 수입니다. 예를 들어, 19가 행복한 수이므로 91도 행복한 수입니다. 마찬가지로 13과 31 모두 행복한 수입니다.

0 삽입 불변성

0을 삽입하거나 제거해도 행복 여부는 바뀌지 않습니다. 19가 행복한 수이므로 109, 190, 1009, 1090도 모두 행복한 수입니다.

행복 소수

행복 소수는 행복한 수이면서 동시에 소수인 숫자입니다. 처음 몇 개의 행복 소수는 다음과 같습니다: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139. 행복 소수는 정수론에서 흥미로운 주제이며 대중 문화에서도 언급되기도 합니다.

행복한 수의 밀도

모든 양의 정수 중 행복한 수의 밀도는 약 14.3%입니다. 이는 대략 양의 정수 7개 중 1개가 행복한 수임을 의미합니다. 흥미롭게도 이 밀도는 숫자의 범위가 달라져도 상당히 일정하게 유지됩니다.

진법에 따른 행복한 수

행복한 수의 개념은 다른 진법으로도 확장될 수 있습니다. \(b\)진법에서 어떤 숫자의 각 자릿수 제곱의 합을 반복했을 때 1에 도달하면 그 수는 행복한 수입니다. 진법에 따라 속성과 주기 구조가 크게 달라집니다:

• 2진법: 2의 거듭제곱(1, 2, 4, 8, 16, ...)만 행복한 수입니다.
• 4진법: 1만이 유일한 행복한 수입니다.
• 10진법: 약 14.3%의 밀도를 가진 익숙한 집합입니다.

계산적 측면

\(d\)개의 자릿수를 가진 숫자의 경우, 자릿수 제곱의 합은 최대 \(81d\)입니다(모든 자릿수가 9일 때). 이는 다음을 의미합니다:

• 1자리 숫자는 최대 81로 매핑됩니다.
• 3자리 숫자(최대 999)는 최대 243으로 매핑됩니다.
• 999보다 큰 모든 숫자는 즉시 더 작은 숫자로 매핑됩니다.

이로 인해 시퀀스는 항상 결국 주기에 진입하거나 1에 도달하게 되며, 알고리즘은 반드시 종료됩니다.

자주 묻는 질문

행복한 수란 무엇인가요?

행복한 수는 각 자릿수의 제곱의 합으로 숫자를 계속 대체해 나갈 때 최종적으로 1에 도달하는 양의 정수입니다. 예를 들어, 19는 다음과 같은 과정을 거치므로 행복한 수입니다: 1² + 9² = 82, 8² + 2² = 68, 6² + 8² = 100, 1² + 0² + 0² = 1. 1에 도달하지 못하는 수는 불행한 수 또는 슬픈 수라고 불립니다.

불행한 수에는 어떤 일이 일어나나요?

불행한(또는 슬픈) 수는 결코 1에 도달하지 않습니다. 대신 결국 무한 루프에 진입하게 됩니다: 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4. 행복한 수가 아닌 모든 숫자는 결국 이 정확한 8개 숫자의 주기에 진입하게 됩니다.

100 미만의 행복한 수는 무엇인가요?

100 미만의 행복한 수는 다음과 같습니다: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97. 이는 100개 중 20개로, 정확히 20%에 해당합니다.

행복한 수에 패턴이 있나요?

행복한 수는 흥미로운 속성을 공유합니다. 행복한 수의 자릿수를 어떻게 재배열해도 여전히 행복한 수입니다 (예: 19와 91은 모두 행복한 수). 또한, 0을 삽입하거나 제거해도 행복 여부는 변하지 않습니다 (예: 19, 109, 190은 모두 행복한 수). 모든 양의 정수 중 행복한 수의 밀도는 약 14.3%입니다.

행복한 수는 누가 발견했나요?

행복한 수는 1966년 레그 알렌비에 의해 처음 연구되었습니다. 이 개념은 유희 수학을 통해 인기를 얻었습니다. "행복한 수"라는 용어는 케임브리지 수학자들에게 이 아이디어를 소개한 어린 학생 덕분에 붙여진 이름입니다.

수학에서 행복한 수는 어떻게 사용되나요?

행복한 수는 정수론, 유희 수학에서 등장하며 프로그래밍 연습 문제로 자주 사용됩니다. 고정점, 반복 함수의 주기, 자릿수 기반 시퀀스와 같은 개념과 연결됩니다. 행복 소수(행복한 수이면서 동시에 소수인 수)는 수학 연구에서 특히 관심을 받는 분야입니다.

추가 리소스

• 행복한 수 - 위키백과
• OEIS A007770 - 행복한 수