Calculadora de Frações Contínuas

Bem-vindo à Calculadora de Frações Contínuas — uma ferramenta poderosa que converte qualquer número decimal, fração ou raiz quadrada em sua representação de fração contínua. Veja a famosa notação [a₀; a₁, a₂, ...], explore aproximações racionais (convergentes) e visualize a estrutura de fração aninhada de forma interativa.

O Que é uma Fração Contínua?

Uma fração contínua é uma forma de expressar um número como uma sequência aninhada de partes inteiras e frações:

Onde a₀, a₁, a₂, ... são números inteiros não negativos chamados quocientes parciais. A notação padrão é [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]. Alguns exemplos notáveis:

• π (pi) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — o 292 significa que pi é extremamente bem aproximado por 355/113
• φ (proporção áurea) = [1; 1, 1, 1, ...] — a fração contínua de convergência mais lenta
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — periódica, conforme previsto pelo teorema de Lagrange
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — padrão belíssimo

Como o Algoritmo Funciona

Para Qualquer Decimal x

1. Calcule a₀ = ⌊x⌋ (piso de x)
2. Defina x₁ = 1/(x − a₀), então calcule a₁ = ⌊x₁⌋
3. Repita: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. Pare quando a parte fracionária for zero (racional) ou quando tiver termos suficientes

Para uma Fração p/q (Algoritmo de Euclides)

Para uma fração, o algoritmo é idêntico ao algoritmo de Euclides para o MDC:

Cada etapa de divisão do algoritmo de Euclides produz um quociente parcial da fração contínua.

Convergentes: Melhores Aproximações Racionais

Os convergentes pₙ/qₙ são obtidos truncando a fração contínua em cada etapa. Eles satisfazem uma propriedade notável: pₙ/qₙ é a melhor aproximação racional para x com denominador ≤ qₙ.

Frações Contínuas Periódicas

Pelo teorema de Lagrange, um número real tem uma fração contínua periódica se, e somente se, for um irracional quadrático (solução de uma equação quadrática com coeficientes inteiros). Isso inclui todas as raízes quadradas de inteiros que não são quadrados perfeitos.

• √2 = [1; 2] — período de comprimento 1
• √3 = [1; 1, 2] — período de comprimento 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — período de comprimento 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — período de comprimento 16

Como Usar Esta Calculadora

1. Insira um valor: decimal (ex: 2.71828), fração (ex: 355/113) ou raiz quadrada (ex: sqrt(7))
2. Defina o máximo de termos: mais termos geram mais quocientes parciais e convergentes
3. Clique em Calcular: veja a notação de FC, termos animados, visualização aninhada, tabela de convergentes e etapas de Euclides (para frações)

Perguntas Frequentes

O que é uma fração contínua?

Uma fração contínua é uma expressão da forma a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) onde a₀, a₁, a₂, ... são inteiros chamados quocientes parciais. Todo número real tem uma expansão em fração contínua. Números racionais têm expansões finitas; números irracionais têm expansões infinitas. Irracionais quadráticos (como raízes quadradas) têm expansões periódicas.

Como converter um decimal em uma fração contínua?

Pegue o piso (parte inteira) como o primeiro termo. Subtraia-o do número, pegue o recíproco e repita. Por exemplo, π ≈ 3.14159...: piso = 3, resto = 0.14159..., recíproco = 7.062..., piso = 7, resto = 0.062..., recíproco = 15.996..., piso = 15, resultando em [3; 7, 15, ...].

Por que sqrt(2) tem uma fração contínua periódica?

Pelo teorema de Lagrange, um número real tem uma fração contínua periódica exatamente quando é um irracional quadrático. √2 satisfaz x² = 2, portanto é um irracional quadrático, resultando em [1; 2, 2, 2, ...]. A proporção áurea φ = (1 + √5)/2 resulta em [1; 1, 1, 1, ...] — o período mais simples possível.

O que são convergentes e por que são importantes?

Convergentes são as frações obtidas ao truncar a fração contínua. Eles são as melhores aproximações racionais — nenhuma fração com denominador menor está mais próxima do número alvo. É por isso que 22/7 e 355/113 são aproximações famosas para π: eles são convergentes da fração contínua de π.

Como o algoritmo de fração contínua se relaciona com o algoritmo de Euclides?

Quando a entrada é uma fração p/q, o cálculo de sua fração contínua é idêntico ao algoritmo de Euclides para o MDC. Cada etapa de resto e quociente produz exatamente um quociente parcial. A fração contínua termina exatamente quando o MDC é encontrado.

Recursos Adicionais

• Fração Contínua - Wikipédia
• Convergentes (Inglês) - Wikipédia
• Algoritmo de Euclides - Wikipédia