穿越地球墜落計算機

🌍 地球內部結構

地球不是一個均勻的球體——它具有密度迥異的明顯分層，這深刻影響了重力火車的計算。

📐 重力火車背後的物理學

重力火車是物理學中一個經典的理想實驗。想像一下鑽一條無摩擦、抽成真空的隧道直線穿過地球，然後把一個物體丟進去。會發生什麼？

均勻密度模型： 在均勻球體內部，只有比您更靠近球心的質量才會產生重力（殼層定理）。這產生了一個線性的重力剖面：

其中 \(g_0 = 9.81\) m/s² 是地表重力，\(r\) 是離地心的距離，而 \(R = 6{,}371\) km 是地球半徑。

這創造了角頻率為的簡諧運動：

單程旅行時間是振動週期的一半：

PREM 可變密度模型： 真實的地球有一個致密的鐵鎳核心 (13 g/cm³)，周圍環繞著較輕的岩石地幔 (3–5 g/cm³)。這意味著當您下降經過地幔時，重力實際上會增加（在 2,891 公里深處的核幔邊界處達到峰值 ~10.68 m/s²），然後通過核心減小。結果是：初始加速度更強，旅行時間更短，約為 38 分鐘。

💨 中心處的最大速度

在地球中心，所有重力加速度都已轉換為動能。最大速度為：

這大約是 23 馬赫 —— 聲速的 23 倍！它也正好等於地球表面的軌道速度，這並非巧合：重力火車在數學上等同於一個退化（壓扁）的軌道。

📐 弦隧道：令人驚訝的捷徑

弦隧道連接地球表面上的兩點而不經過中心。對於地心角為 \(\theta\) 的弦：

• 隧道長度： \(L = 2R\sin(\theta/2)\)
• 最大深度： \(d = R(1 - \cos(\theta/2))\)
• 最大速度： \(v_{max} = \omega R\sin(\theta/2)\)（低於直徑隧道）
• 旅行時間： 仍然是 \(\pi\sqrt{R/g_0} \approx 42\) 分鐘！

所有弦隧道的旅行時間相等是簡諧運動等時性的直接結果——同樣的性質使得擺鐘的週期與振幅無關（對於小擺動）。

🛠 為什麼我們實際上無法建造它？

雖然重力火車是一個美麗的理論構造，但幾個實際障礙使其在當前技術下無法實現：

• 溫度： 地核溫度達到 5,500°C（與太陽表面一樣熱）。沒有任何已知材料能夠承受這些溫度。
• 壓力： 在中心，壓力超過 360 GPa（360 萬個大氣壓）。隧道壁需要抵抗巨大的粉碎力。
• 空氣阻力： 即使抽成真空，在 12,742 公里範圍內保持完美的真空也是不切實際的。任何空氣都會產生阻力和熱量。
• 科里奧利效應： 地球自轉會將墜落物體推向隧道壁，需要磁懸浮或彎曲隧道。
• 潮汐效應： 月球和太陽會對軌跡產生輕微的變化。

儘管如此，這個概念啟發了現實中關於使用更短、更淺的隧道連接附近城市之間的「重力火車」提案——本質上是雲霄飛車的高科技版本！

📜 歷史背景

重力火車概念在物理學和科幻小說中有著豐富的历史：

• 1638 年： 伽利略·伽利萊首次考慮了穿越地球墜落的問題。
• 1687 年： 艾薩克·牛頓的《自然哲學的數學原理》提供了解決該問題所需的殼層定理。
• 1966 年： 保羅·庫珀在《美國物理學雜誌》上發表了《重力火車》，推廣了弦隧道的結果。
• 2015 年： 亞歷山大·克洛茨發表了使用 PREM 模型的精細計算，發現旅行時間約為 38 分鐘。