什么是级数抵消（项消）？

级数抵消（如对消级数）是指相邻项相互抵消，在部分和中仅留下有限项。例如，级数 1/(n(n+1)) 可以通过部分分式写成 1/n - 1/(n+1)，大多数项都会抵消，结果之和为 1。

无限级数求和计算器

求解收敛无穷级数，包括等比级数、裂项相消级数、p 级数和常见特殊级数，查看收敛分析步骤及部分和变化动画。

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示例：

几何级数

$$\sum_{n=0}^{\infty} a \cdot r^n$$

当 |r| < 1 时，和 = a/(1−r)。最基础的收敛级数。

p-级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$

当 p > 1 时收敛。包括巴塞尔问题 (p=2) = π²/6。

级数抵消法

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+k)}$$

通过部分分式抵消。当 k=1 时：和 = 1。

交错调和级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)$$

交错调和级数。和 = ln(2) ≈ 0.6931。

莱布尼茨公式 (π/4)

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$$

莱布尼茨公式。和 = π/4 ≈ 0.7854。收敛较慢。

巴塞尔问题 (π²/6)

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$

由欧拉解决的巴塞尔问题。和 = π²/6 ≈ 1.6449。

指数级数 (e)

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e$$

e 的泰勒级数。收敛速度极快。

几何级数 (自定义起点)

$$\sum_{n=N}^{\infty} a \cdot r^n$$

具有自定义起始索引 N 的几何级数。

交错 p-级数

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^p}$$

狄利克雷 eta 函数。p=1 时 → ln(2)，p=2 时 → π²/12。

指数 eˣ

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$$

eˣ 的泰勒级数。对所有 x 收敛。

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无限级数求和计算器

无限级数求和计算器用于计算收敛无限级数的精确之和。它支持几何级数、p-级数、对消级数以及著名的特殊级数，如巴塞尔问题、π 的莱布尼茨公式和交错调和级数。每次计算都包含逐步收敛证明、动态部分和可视化图表以及详细的部分和数据表。

支持的级数类型

∞

几何级数

a + ar + ar² + … = a/(1−r)

p-级数

Σ 1/nᵖ，当 p > 1 时收敛

⟿

对消级数

Σ 1/n(n+k)，部分分式法

交错级数

Σ (−1)ⁿ⁺¹/n = ln(2)

莱布尼茨

Σ (−1)ⁿ/(2n+1) = π/4

ℯ

指数级数

Σ 1/n! = e ≈ 2.718

关键公式

级数	公式	收敛条件
几何级数	$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$	\|r\| < 1
p-级数	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \zeta(p)$	p > 1
对消级数	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$	始终收敛
巴塞尔问题	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$	p = 2 的 p-级数
莱布尼茨级数	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$	交错级数
交错调和级数	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)$	条件收敛
指数级数	$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x$	所有 x ∈ ℝ

如何使用无限级数求和计算器

选择级数类型： 点击级数卡片进行选择，或使用热门级数的快速示例按钮。使用分类标签在“经典”和“特殊”级数之间进行过滤。
输入参数： 如果级数需要参数（如几何级数的公比 r 或 p-级数的指数 p），请填写输入框。系统已提供默认值。
点击计算求和： 按下紫色的“计算求和”按钮以计算结果。
查看结果： 查看精确的和值、动态部分和收敛图、逐步数学证明以及详细的部分和数据表。

理解收敛性

如果部分和序列 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$ 在 N → ∞ 时趋于一个有限极限，则称无限级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。我们计算器中的动画图表直观地展示了这种收敛过程 —— 您可以观察部分和如何趋近于虚线极限。

关键收敛判别法：

几何级数判别法： Σ arⁿ 当且仅当 |r| < 1 时收敛
p-级数判别法： Σ 1/nᵖ 当且仅当 p > 1 时收敛
交错级数判别法（莱布尼茨）： 如果 bₙ 递减且趋于 0，则 Σ (−1)ⁿbₙ 收敛
比值判别法： 如果 lim|aₙ₊₁/aₙ| < 1，则级数绝对收敛
积分判别法： 将级数与反常积分进行比较

级数求和中的著名结果

一些无限级数具有令人惊讶且美丽的精确和：

巴塞尔问题 (1734)： 欧拉证明了 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6，将平方倒数之和与 π 联系起来。
莱布尼茨公式 (1674)： 交错级数 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … = π/4，这是 π 最简单的表达式之一。
欧拉数： 级数 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + … = e ≈ 2.71828，收敛速度极快。
交错调和级数： 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … = ln(2)，尽管调和级数本身是发散的。

常见问题解答 (FAQ)

什么是无限级数之和？

无限级数之和是将序列中无限多项相加的结果。如果部分和趋向于一个有限数值，则称该级数收敛，该数值即为其和。例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2 是一个收敛的几何级数。

无限级数何时收敛？

当无限级数的部分和趋向于一个有限极限时，该级数收敛。有不同的判别法可以确定收敛性：比值判别法、根值判别法、p-级数判别法、交错级数判别法等。一个必要（但非充分）条件是各项必须趋于零 —— 调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + … 尽管各项趋于零，但它是发散的。

几何级数的和是多少？

当公比 r 的绝对值小于 1 时，无限几何级数 a + ar + ar² + … 的和等于 a/(1−r)。如果 |r| ≥ 1，则级数发散。例如，1 + 1/2 + 1/4 + … = 1/(1−0.5) = 2。

什么是巴塞尔问题？

巴塞尔问题要求计算平方倒数的精确和：1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … 欧拉在 1734 年解决了这个问题，证明其和等于 π²/6（约等于 1.6449）。这是数论和分析中最著名的结果之一。

什么是对消级数？

对消级数是指相邻项相互抵消，在部分和中仅留下有限项。例如，级数 Σ 1/(n(n+1)) 可以通过部分分式写成 1/n − 1/(n+1)，大多数项都会抵消，结果之和为 1。

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级数	公式	收敛条件
几何级数	\(\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}\)	\|r\| < 1
p-级数	\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \zeta(p)\)	p > 1
对消级数	\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1\)	始终收敛
巴塞尔问题	\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)	p = 2 的 p-级数
莱布尼茨级数	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}\)	交错级数
交错调和级数	\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln(2)\)	条件收敛
指数级数	\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x\)	所有 x ∈ ℝ