Calculatrice de Fonctions Hyperboliques

Calculatrice de Fonctions Hyperboliques

Bienvenue sur la Calculatrice de Fonctions Hyperboliques, un puissant outil en ligne pour calculer les fonctions hyperboliques avec une précision exceptionnelle. Calculez sinh, cosh, tanh et leurs inverses (asinh, acosh, atanh) avec jusqu'à 1000 décimales de précision, avec des solutions étape par étape et des visualisations interactives.

Que sont les fonctions hyperboliques ?

Les fonctions hyperboliques sont des fonctions mathématiques qui sont des analogues des fonctions trigonométriques ordinaires, mais définies à l'aide de l'hyperbole plutôt que du cercle. Alors que les fonctions trigonométriques se rapportent à des points sur le cercle unitaire $x^2 + y^2 = 1$, les fonctions hyperboliques se rapportent à des points sur l'hyperbole unitaire $x^2 - y^2 = 1$.

Les trois principales fonctions hyperboliques sont :

• Sinus Hyperbolique (sinh) : Défini par $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• Cosinus Hyperbolique (cosh) : Défini par $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• Tangente Hyperbolique (tanh) : Défini par $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

L'identité hyperbolique fondamentale

Tout comme les fonctions trigonométriques satisfont $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, les fonctions hyperboliques satisfont l'identité fondamentale :

$$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$$

Cette identité peut être vérifiée pour tout nombre réel x et est une conséquence directe des définitions exponentielles de cosh et sinh.

Domaine et ensemble de définition des fonctions hyperboliques

Comment utiliser cette calculatrice

1. Entrez la valeur d'entrée : Tapez un nombre dans le champ de saisie. Il peut s'agir de n'importe quel nombre réel pour sinh, cosh, tanh et asinh. Pour acosh, entrez une valeur supérieure ou égale à 1. Pour atanh, entrez une valeur entre -1 et 1.
2. Sélectionnez la fonction : Choisissez parmi sinh, cosh, tanh (fonctions directes) ou asinh, acosh, atanh (fonctions inverses) en utilisant les cartes de fonction ou le menu déroulant.
3. Réglez la précision : Entrez le nombre souhaité de décimales (1-1000) ou choisissez parmi des valeurs prédéfinies comme 10, 50, 100 ou 500 décimales.
4. Calculez et affichez les résultats : Cliquez sur Calculer pour voir le résultat avec la précision choisie, ainsi que les calculs étape par étape, un graphique interactif et les valeurs de fonctions associées.

Applications des fonctions hyperboliques

Foire aux questions

Que sont les fonctions hyperboliques ?

Les fonctions hyperboliques sont des analogues des fonctions trigonométriques mais basées sur l'hyperbole unitaire $x^2 - y^2 = 1$ au lieu du cercle unitaire. Les principales fonctions hyperboliques sont sinh (sinus hyperbolique), cosh (cosinus hyperbolique) et tanh (tangente hyperbolique), définies à l'aide de fonctions exponentielles.

Quelle est la formule de sinh(x) ?

Le sinus hyperbolique est défini par $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. C'est une fonction impaire dont le domaine et l'ensemble de définition couvrent tous les nombres réels. $\sinh(0) = 0$.

Quelle est l'identité hyperbolique fondamentale ?

L'identité hyperbolique fondamentale est $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$, ce qui est analogue à l'identité trigonométrique $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$. Cette identité peut être vérifiée pour toute valeur réelle de x.

Où les fonctions hyperboliques sont-elles utilisées ?

Les fonctions hyperboliques apparaissent dans de nombreux domaines, notamment : la physique (relativité restreinte, équations d'onde), l'ingénierie (courbes caténaires, traitement du signal), l'architecture (ponts suspendus, arches) et l'apprentissage automatique (fonctions d'activation tanh dans les réseaux de neurones).

Quel est le domaine de définition de acosh(x) ?

Le cosinus hyperbolique inverse acosh(x) n'est défini que pour $x \geq 1$, car cosh(x) renvoie toujours des valeurs supérieures ou égales à 1. L'ensemble de définition de acosh est $[0, +\infty)$.

Références

• Fonction hyperbolique - Wikipédia
• Fonctions hyperboliques - Wolfram MathWorld
• Chaînette - Wikipédia
• Fonctions d'activation dans les réseaux de neurones - Wikipédia

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