함수 합성 계산기

함수 합성 계산기 정보

저희 함수 합성 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 무료 온라인 도구는 두 함수의 합성을 계산하고 자세한 단계별 풀이를 제공합니다. 함수 합성을 배우는 학생이든, 미적분학을 준비하는 학습자든, 예제를 만드는 선생님이든, 이 계산기는 대수적 과정에 대한 명확한 설명을 제공합니다.

함수 합성이란 무엇인가요?

함수 합성은 두 함수를 결합하여 새로운 함수를 만드는 과정입니다. 함수 f와 g를 합성할 때 $(f \circ g)(x)$라고 쓰며, 이는 "f 합성 g" 또는 "x의 g의 f"라고 읽습니다.

표기법 $(f \circ g)(x)$는 $f(g(x))$를 의미하며, 다음과 같이 작동합니다:

• 먼저 입력값 x에 g를 적용하여 $g(x)$를 얻습니다.
• 그런 다음 그 결과에 f를 적용하여 $f(g(x))$를 얻습니다.
• 내부 함수가 먼저 적용되고, 그 후 외부 함수가 적용됩니다.

함수 합성 계산 방법

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$를 구하려면 다음 단계를 따르세요:

1단계: 내부 함수와 외부 함수 식별하기

$(f \circ g)(x)$에서 g는 내부 함수(먼저 적용됨)이고 f는 외부 함수(나중에 적용됨)입니다.

2단계: f(x)에 g(x) 대입하기

f(x)에 있는 모든 x를 g(x)의 전체 식으로 바꿉니다.

3단계: 식 정리하기

전개, 동류항 정리, 인수분해 등의 방법을 사용하여 결과 식을 간단히 만듭니다.

4단계: 최종 답안 작성하기

결과를 $(f \circ g)(x) = $ 정리된 식 형태로 나타냅니다.

함수 합성의 주요 성질

함수 합성은 교환 법칙이 성립하지 않습니다

일반적으로 $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$입니다. 순서가 중요합니다! 이것은 기억해야 할 가장 중요한 성질 중 하나입니다.

함수 합성은 결합 법칙이 성립합니다

세 함수 f, g, h가 있을 때, $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$입니다.

항등 함수

항등 함수 $I(x) = x$는 어떤 함수 f에 대해서도 $(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$를 만족합니다.

역함수

f와 g가 역함수 관계라면, $(f \circ g)(x) = x$이고 $(g \circ f)(x) = x$입니다.

함수 합성의 일반적인 예

$f(x)$	$g(x)$	$(f \circ g)(x) = f(g(x))$
$f(x) = 2x + 1$	$g(x) = x^2$	$2x^2 + 1$
$f(x) = x^2$	$g(x) = 2x + 1$	$(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
$f(x) = \sqrt{x}$	$g(x) = x + 4$	$\sqrt{x + 4}$
$f(x) = e^x$	$g(x) = \ln(x)$	$e^{\ln(x)} = x$
$f(x) = \ln(x)$	$g(x) = e^x$	$\ln(e^x) = x$
$f(x) = \frac{1}{x}$	$g(x) = x + 2$	$\frac{1}{x + 2}$

합성 함수의 정의역

$(f \circ g)(x)$의 정의역은 g의 정의역에 속하는 x 중에서 $g(x)$가 f의 정의역에 속하는 모든 x로 구성됩니다.

예를 들어, $f(x) = \sqrt{x}$이고 $g(x) = x - 4$인 경우:

• $g(x) = x - 4$는 모든 실수에서 정의됩니다.
• $f(x) = \sqrt{x}$는 $x \geq 0$이어야 합니다.
• $(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 4}$의 경우 $x - 4 \geq 0$이어야 하므로, $x \geq 4$입니다.

함수 합성의 활용

미적분학에서

함수 합성은 미분의 연쇄 법칙(Chain Rule)에 필수적입니다: $h(x) = f(g(x))$이면 $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$입니다.

실생활 문제에서

함수 합성은 연속적인 과정을 모델링합니다. 예를 들어:

• 온도 변환: 화씨를 섭씨로 변환한 다음, 섭씨를 켈빈으로 변환하여 화씨를 켈빈으로 변환합니다.
• 비즈니스: 가격에 할인을 적용한 다음, 판매세를 추가합니다.
• 물리학: 속도는 위치의 도함수이고, 가속도는 속도의 도함수입니다.

예제

예제 1: 다항 함수

$f(x) = 2x + 3$이고 $g(x) = x^2 - 1$일 때, $(f \circ g)(x)$를 구하시오.

풀이:

1. $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
2. $f(x) = 2x + 3$에 $g(x) = x^2 - 1$을 대입합니다:
3. $f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3$
4. $= 2x^2 - 2 + 3$
5. $= 2x^2 + 1$

예제 2: 유리 함수와 다항 함수

$f(x) = \frac{1}{x}$이고 $g(x) = x + 2$일 때, $(f \circ g)(x)$와 $(g \circ f)(x)$를 모두 구하시오.

풀이:

1. $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = \frac{1}{x + 2}$
2. $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 2 = \frac{1 + 2x}{x}$
3. 주의: $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$

예제 3: 역함수 확인

$f(x) = 2x + 3$이고 $g(x) = \frac{x - 3}{2}$일 때, f와 g가 역함수인지 확인하시오.

풀이:

1. $(f \circ g)(x)$ 확인: $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x - 3 + 3 = x$ ✓
2. $(g \circ f)(x)$ 확인: $g(2x + 3) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = \frac{2x}{2} = x$ ✓
3. 두 합성 결과가 모두 x이므로, f와 g는 역함수입니다.

계산기 사용 팁

• 변수로 x를 사용하여 함수를 입력하세요.
• 곱셈에는 *를 사용하세요 (예: 2x 대신 2*x).
• 거듭제곱에는 ^ 또는 **를 사용하세요 (예: x^2 또는 x**2).
• 제곱근에는 sqrt(x)를 사용하세요.
• 자연로그에는 log(x)를 사용하세요.
• 지수 함수에는 exp(x) 또는 e^x를 사용하세요.
• 연산 순서를 명확히 하기 위해 괄호를 사용하세요.

자주 묻는 질문(FAQ)

(f ∘ g)(x)와 f(x) × g(x)의 차이점은 무엇인가요?

$(f \circ g)(x)$는 함수 합성을 의미하며 $f(g(x))$입니다. 반면 $f(x) \times g(x)$는 함수 곱셈으로, 두 함수의 출력값을 곱하는 것입니다. 이 둘은 완전히 다른 연산입니다.

(f ∘ g)(x) 표기법은 어떻게 읽나요?

"f 합성 g" 또는 간단히 "g의 f"라고 읽습니다. 작은 원 ∘은 곱셈이 아닌 합성을 나타냅니다.

함수 합성에서 순서가 중요한가요?

네! 함수 합성은 교환 법칙이 성립하지 않습니다. $(f \circ g)(x)$는 보통 $(g \circ f)(x)$와 다른 결과를 냅니다. 항상 어떤 함수가 먼저 적용되는지 주의하세요.

합성 함수의 정의역은 어떻게 구하나요?

$(f \circ g)(x)$의 정의역은 다음 두 조건을 만족하는 모든 x값입니다: (1) x가 g의 정의역에 있어야 함, 그리고 (2) $g(x)$가 f의 정의역에 있어야 함. 두 조건을 모두 확인해야 합니다.

추가 자료

함수 합성에 대해 더 알아보기:

• 함수 합성 - 위키백과 (영문)
• 함수 합성 - 칸아카데미 (영문)
• 함수 합성 - Wolfram MathWorld (영문)

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