高斯分布生成器

高斯分布生成器

高斯分布生成器可以生成遵循正态（高斯）分布的随机数，这种分布也称为钟形曲线。与对所有数值赋予相同概率的均匀随机生成器不同，此工具生成的数字围绕中心均值聚集，随着数值远离中心，其出现的概率逐渐降低。

什么是高斯（正态）分布？

高斯分布以数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名，是统计学和自然科学中最重要的概率分布之一。它描述了数值如何围绕中心均值分布，从而形成特征性的“钟形曲线”形状。

该分布由两个参数定义：

• 均值 (μ)： 分布的中心，即峰值出现的位置。这是数字聚集周围的平均值。
• 标准差 (σ)： 衡量分布的离散或分散程度。较大的 σ 意味着数值分布更广；较小的 σ 意味着数值更紧密地聚集在均值周围。

68-95-99.7 法则（经验法则）

正态分布最有用的特性之一是经验法则，其内容如下：

• 68% 的数值落在均值的一个标准差范围内 (μ ± σ)
• 95% 的数值落在均值的两个标准差范围内 (μ ± 2σ)
• 99.7% 的数值落在均值的三个标准差范围内 (μ ± 3σ)

此法则可帮助您预测生成的数字中有多少百分比会落在特定范围内。

如何使用高斯分布生成器

1. 设置均值 (μ)： 输入分布的中心值。对于标准正态分布，使用 0。对于智商分数，使用 100。对于考试成绩，您可以使用 75。
2. 设置标准差 (σ)： 输入您希望数值的离散程度。对于标准正态分布，使用 1。对于智商分数，使用 15。较大的值会产生更宽的分布。
3. 选择数量： 选择要生成的随机数数量（1 到 10,000）。
4. 选择小数位数： 选择从 0（整数）到 6 位小数的精度。
5. 可选种子： 输入种子值以获得可重复的结果。相同的种子 + 相同的参数 = 相同的数字。
6. 生成： 点击按钮创建随机数并查看可视化结果。

了解统计数据

基本统计

• 样本均值： 所有生成数字的平均值。对于大样本，应接近您输入的均值。
• 样本标准差： 计算出的样本标准差。随着样本量的增加，应接近您输入的 σ。
• 中位数： 数字排序后的中间值。对于正态分布，此值应接近均值。
• 最小值/最大值： 样本中的最小值和最大值。

高级统计

• 偏度： 衡量分布的不对称性。接近 0 的值表示对称。正偏度意味着右尾较长；负偏度意味着左尾较长。
• 峰度： 衡量分布的“尾部厚度”。接近 0 的值表示正常的尾部行为。正值表示尾部较重；负值表示尾部较轻。
• 百分位数 (5th, 25th, 75th, 95th)： 低于该值的数字占数据的特定百分比。

常见应用

模拟与建模

高斯随机数对于蒙特卡洛模拟、金融建模、风险分析以及需要模拟自然变异性的科学模拟至关重要。

机器学习与人工智能

神经网络权重通常使用高斯分布进行初始化。用于数据增强的噪声注入也通常使用正态分布。

统计测试

生成样本数据用于测试统计方法、假设检验或演示中心极限定理概念。

自然现象建模

许多自然现象遵循正态分布：人类身高、测量误差、考试成绩、血压读数等。

质量控制

模拟制造过程，其中产品尺寸在已知公差的目标值周围变化。

正态分布示例

• 标准正态分布 (μ=0, σ=1)： 用于 Z 分数计算和统计表的参考分布。
• 智商分数 (μ=100, σ=15)： 智商设计为遵循具有这些参数的正态分布。
• 人类身高： 美国成年男性的身高近似为 N(μ=175cm, σ=7cm)。
• SAT 分数 (μ=1060, σ=217)： 大学入学考试分数大约遵循正态分布。

用于可重复性的随机种子

可选的随机种子功能允许您生成可重复的随机数序列。这对以下方面很有价值：

• 科学研究： 确保实验可以完全复制。
• 调试： 重现相同的随机序列以调试问题。
• 分享结果： 其他人可以使用您的种子生成相同的数据。
• 测试： 使用已知的随机输入创建一致的测试用例。

将种子字段留空以获得真正的随机性，每次生成都会产生不同的结果。

常见问题解答

什么是高斯（正态）分布？

高斯分布 or 正态分布是一种关于均值对称的概率分布，表明接近均值的数据比远离均值的数据出现的频率更高。它形成了著名的“钟形曲线”形状。约 68% 的数值落在均值的一个标准差范围内，95% 落在两个标准差范围内，99.7% 落在三个标准差范围内。

均值和标准差代表什么？

均值 (μ) 是分布的中心——即钟形曲线的最高点。标准差 (σ) 衡量数字的离散程度。较大的标准差意味着分布更广（钟形曲线更宽），而较小的标准差意味着数值更紧密地聚集在均值周围（钟形曲线更窄）。

随机种子选项有什么用？

随机种子允许您生成可重复的结果。使用相同的种子和相同的参数将产生完全相同的随机数序列。这对科学实验、调试或需要在多次运行中获得一致结果的情况非常有用。

如何使用高斯随机数？

高斯随机数用于模拟、统计建模、蒙特卡洛方法、机器学习、信号处理和金融建模。它们可以模拟身高、考试成绩、测量误差和股票价格变动等通常遵循正态分布的自然现象。

统计学中的偏度和峰度是什么？

偏度衡量分布的不对称性。接近 0 的值表示对称。正偏度意味着右侧尾部较长，负偏度意味着左侧尾部较长。峰度（超额峰度）衡量尾部相对于正态分布的粗细程度。接近 0 的值表示正常的尾部权重，正值表示尾部较重，负值表示尾部较轻。

技术细节

本生成器使用 Python 的 random.gauss() 函数，该函数实现 Box-Muller 变换，将均匀分布的随机数转换为正态分布的随机数。算法如下：

1. 生成两个 (0, 1) 之间的独立均匀随机数 U1 和 U2
2. 应用 Box-Muller 变换得到两个独立的标准正态值
3. 缩放和平移以达到所需的均值和标准差

相关资源

• 正态分布 - 维基百科
• 68-95-99.7法则 - 维基百科
• Box-Muller 变换 - 维基百科