定义域与值域计算器
欢迎使用我们的定义域与值域计算器，这是一款免费的在线工具，可帮助您求出代数函数的定义域和值域。无论您是学习函数的学生、准备考试，还是编写例题的老师，本计算器都能提供逐步分析和清晰的区间表示法结果。
什么是函数的定义域？
函数的定义域是使函数产生有效输出的所有可能的输入值（通常为 x 值）的集合。换句话说，它代表了您可以代入函数而不会导致数学错误的所有 x 值。
限制定义域的常见约束包括：
- 除以零：分数的分母不能等于零
- 负数的平方根：在实数范围内，偶次根要求被开方数为非负数
- 对数：对数的真数必须为正数
- 反三角函数：具有特定的输入限制
什么是函数的值域？
函数的值域是函数可能产生的所有输出值（通常为 y 值）的集合。它代表了当 x 在定义域内变化时，f(x) 实际上可以达到的所有值。
求值域通常需要分析：
- 最大值和最小值：最大和最小的输出是多少？
- 渐近行为：当 x 趋向无穷大或特定值时会发生什么？
- 函数变换：平移和伸缩如何影响输出
常见函数类型及其定义域/值域
| 函数类型 | 一般形式 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|---|
| 线性函数 | $f(x) = mx + b$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| 二次函数 | $f(x) = ax^2 + bx + c$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[k, +\infty)$ 或 $(-\infty, k]$ |
| 平方根函数 | $f(x) = \sqrt{x}$ | $[0, +\infty)$ | $[0, +\infty)$ |
| 有理函数 | $f(x) = \frac{1}{x}$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ |
| 对数函数 | $f(x) = \log(x)$ | $(0, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| 指数函数 | $f(x) = e^x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
| 正弦函数 | $f(x) = \sin(x)$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[-1, 1]$ |
如何求定义域 - 逐步指南
步骤 1：识别潜在限制
寻找具有输入限制的运算：
- 分数 - 分母不能等于零
- 偶次根（平方根、四次根等） - 被开方数必须为非负数
- 对数 - 真数必须为正数
步骤 2：解出受限值
对于识别出的每个限制，解方程或不等式以找出排除的值。
步骤 3：用区间表示法写出定义域
使用区间表示法表示定义域，排除受限值。使用圆括号 ( ) 表示开区间（不包含该值），使用方括号 [ ] 表示闭区间（包含该值）。
示例
示例 1：有理函数
求 $f(x) = \frac{1}{x-2}$ 的定义域
解答：分母 $x-2 = 0$ 时 $x = 2$。因此，定义域为 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$，即除 2 以外的所有实数。
示例 2：平方根函数
求 $f(x) = \sqrt{x-3}$ 的定义域
解答：被开方数 $x-3 \geq 0$，所以 $x \geq 3$。定义域为 $[3, +\infty)$。
示例 3：对数函数
求 $f(x) = \log(x+1)$ 的定义域
解答：真数 $x+1 > 0$，所以 $x > -1$。定义域为 $(-1, +\infty)$。
区间表示法指南
- $(a, b)$ - 开区间：a 和 b 之间的所有数，不包括 a 和 b
- $[a, b]$ - 闭区间：a 和 b 之间的所有数，包括 a 和 b
- $(a, b]$ - 半开区间：包括 b 但不包括 a
- $[a, b)$ - 半开区间：包括 a 但不包括 b
- $(-\infty, a)$ - 所有小于 a 的数
- $(a, +\infty)$ - 所有大于 a 的数
- $\cup$ - 并集符号：组合两个或多个区间
本计算器使用技巧
- 输入函数时使用 x 作为变量
- 使用 ^ 或 ** 表示指数（例如 x^2 或 x**2）
- 使用 sqrt(x) 表示平方根
- 使用 log(x) 表示自然对数
- 使用 sin(x), cos(x), tan(x) 表示三角函数
- 使用 exp(x) 或 e^x 表示指数函数
常见问题
函数可以有空定义域吗？
是的，如果没有任何实数 x 能使函数有定义，则函数的定义域为空。例如，$f(x) = \sqrt{-x^2-1}$ 没有实数定义域，因为 $-x^2-1$ 总是负数。
定义域和值域有什么区别？
定义域是指所有可能的输入值（x 值），而值域是指所有可能的输出值（y 值）。可以将定义域看作是可以放入函数的东西，将值域看作是可以从中得到的东西。
为什么无穷大要用圆括号？
无穷大总是用圆括号，因为它不是一个可以达到或包含的实数。我们只能趋近无穷大，而永远不能在区间中实际包含它。
更多资源
了解更多关于函数定义域和值域的信息：
引用此内容、页面或工具为：
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由 miniwebtool 团队制作。更新于：2025年12月11日
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