Kalkulator dziedziny i zbioru wartości
Wyznacz dziedzinę (możliwe argumenty) i zbiór wartości (możliwe wyniki) funkcji algebraicznych wraz z analizą krok po kroku i notacją przedziałową.
O Kalkulator dziedziny i zbioru wartości
Witamy w naszym Kalkulatorze Dziedziny i Zbioru Wartości, darmowym narzędziu online, które pomaga znaleźć dziedzinę i zbiór wartości funkcji algebraicznych. Niezależnie od tego, czy jesteś uczniem poznającym funkcje, przygotowujesz się do egzaminów, czy nauczycielem tworzącym przykłady, ten kalkulator zapewnia analizę krok po kroku wraz z przejrzystymi wynikami w notacji przedziałowej.
Czym jest dziedzina funkcji?
Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości wejściowych (zazwyczaj wartości x), dla których funkcja generuje poprawny wynik. Innymi słowy, reprezentuje ona wszystkie wartości x, które można podstawić do funkcji bez powodowania błędów matematycznych.
Typowe ograniczenia zawężające dziedzinę to:
- Dzielenie przez zero: Mianownik ułamka nie może być równy zeru
- Pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych: Pierwiastki parzystego stopnia wymagają nieujemnych wyrażeń podpierwiastkowych w zbiorze liczb rzeczywistych
- Logarytmy: Argument logarytmu musi być dodatni
- Odwrotne funkcje trygonometryczne: Mają określone ograniczenia wejściowe
Czym jest zbiór wartości funkcji?
Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości wyjściowych (zazwyczaj wartości y), które funkcja może wytworzyć. Reprezentuje on wszystkie wartości, które f(x) może faktycznie osiągnąć, gdy x zmienia się w całej dziedzinie.
Znalezienie zbioru wartości często wymaga analizy:
- Wartości maksymalnych i minimalnych: Jakie są największe i najmniejsze wartości wyjściowe?
- Zachowania asymptotycznego: Co dzieje się, gdy x dąży do nieskończoności lub określonych wartości?
- Przekształceń funkcji: Jak przesunięcia i rozciągnięcia wpływają na wynik
Typowe rodzaje funkcji oraz ich Dziedzina i Zbiór Wartości
| Typ Funkcji | Postać Ogólna | Dziedzina | Zbiór Wartości |
|---|---|---|---|
| Liniowa | $f(x) = mx + b$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| Kwadratowa | $f(x) = ax^2 + bx + c$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[k, +\infty)$ lub $(-\infty, k]$ |
| Pierwiastek kwadratowy | $f(x) = \sqrt{x}$ | $[0, +\infty)$ | $[0, +\infty)$ |
| Wymierna | $f(x) = \frac{1}{x}$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ | $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ |
| Logarytmiczna | $f(x) = \log(x)$ | $(0, +\infty)$ | $(-\infty, +\infty)$ |
| Wykładnicza | $f(x) = e^x$ | $(-\infty, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
| Sinus | $f(x) = \sin(x)$ | $(-\infty, +\infty)$ | $[-1, 1]$ |
Jak Znaleźć Dziedzinę - Krok po Kroku
Krok 1: Zidentyfikuj potencjalne ograniczenia
Szukaj operacji, które mają ograniczenia wejściowe:
- Ułamki - mianowniki nie mogą być równe zeru
- Pierwiastki parzystego stopnia (kwadratowe, czwartego stopnia itp.) - wyrażenie podpierwiastkowe musi być nieujemne
- Logarytmy - argument musi być dodatni
Krok 2: Rozwiąż dla ograniczonych wartości
Dla każdego zidentyfikowanego ograniczenia rozwiąż równanie lub nierówność, aby znaleźć wykluczone wartości.
Krok 3: Zapisz dziedzinę w notacji przedziałowej
Wyraź dziedzinę za pomocą notacji przedziałowej, wykluczając ograniczone wartości. Użyj nawiasów okrągłych ( ) dla przedziałów otwartych (wartość nie jest uwzględniona) i nawiasów kwadratowych [ ] dla przedziałów domkniętych (wartość jest uwzględniona).
Przykłady
Przykład 1: Funkcja wymierna
Znajdź dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{1}{x-2}$
Rozwiązanie: Mianownik $x-2 = 0$, gdy $x = 2$. Dlatego dziedziną jest $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$, co oznacza wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem 2.
Przykład 2: Funkcja pierwiastkowa
Znajdź dziedzinę funkcji $f(x) = \sqrt{x-3}$
Rozwiązanie: Wyrażenie podpierwiastkowe $x-3 \geq 0$, więc $x \geq 3$. Dziedziną jest $[3, +\infty)$.
Przykład 3: Funkcja logarytmiczna
Znajdź dziedzinę funkcji $f(x) = \log(x+1)$
Rozwiązanie: Argument $x+1 > 0$, więc $x > -1$. Dziedziną jest $(-1, +\infty)$.
Przewodnik po notacji przedziałowej
- $(a, b)$ - Przedział otwarty: wszystkie liczby między a i b, bez a i b
- $[a, b]$ - Przedział domknięty: wszystkie liczby między a i b, włącznie z a i b
- $(a, b]$ - Przedział lewostronnie otwarty: zawiera b, ale nie a
- $[a, b)$ - Przedział prawostronnie otwarty: zawiera a, ale nie b
- $(-\infty, a)$ - Wszystkie liczby mniejsze od a
- $(a, +\infty)$ - Wszystkie liczby większe od a
- $\cup$ - Symbol sumy zbiorów: łączy dwa lub więcej przedziałów
Wskazówki dotyczące korzystania z kalkulatora
- Wprowadzaj funkcje używając x jako zmiennej
- Używaj ^ lub ** dla potęg (np. x^2 lub x**2)
- Używaj sqrt(x) dla pierwiastka kwadratowego
- Używaj log(x) dla logarytmu naturalnego
- Używaj sin(x), cos(x), tan(x) dla funkcji trygonometrycznych
- Używaj exp(x) lub e^x dla funkcji wykładniczej
Często zadawane pytania
Czy funkcja może mieć pustą dziedzinę?
Tak, funkcja może mieć pustą dziedzinę, jeśli nie ma żadnych rzeczywistych wartości x, dla których funkcja jest określona. Na przykład $f(x) = \sqrt{-x^2-1}$ nie ma rzeczywistej dziedziny, ponieważ wyrażenie $-x^2-1$ jest zawsze ujemne.
Czym różni się dziedzina od zbioru wartości?
Dziedzina odnosi się do wszystkich możliwych wartości wejściowych (wartości x), podczas gdy zbiór wartości odnosi się do wszystkich możliwych wartości wyjściowych (wartości y). Pomyśl o dziedzinie jako o tym, co możesz włożyć do funkcji, a o zbiorze wartości jako o tym, co możesz z niej wyciągnąć.
Dlaczego nieskończoność zapisuje się w nawiasach okrągłych?
Nieskończoność zawsze zapisuje się w nawiasach okrągłych, ponieważ nie jest to liczba rzeczywista, którą można osiągnąć lub zawrzeć. Do nieskończoności możemy jedynie dążyć, nigdy faktycznie nie włączając jej do przedziału.
Dodatkowe zasoby
Aby dowiedzieć się więcej o dziedzinie i zbiorze wartości funkcji:
- Dziedzina funkcji - Wikipedia (ang.)
- Dziedzina i zbiór wartości - Khan Academy (ang.)
- Dziedzina - Wolfram MathWorld (ang.)
Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:
"Kalkulator dziedziny i zbioru wartości" na https://MiniWebtool.com/pl// z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 11 grudnia 2025
Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.