정의역 치역 계산기

정의역 치역 계산기 정보

무료 온라인 도구인 정의역 치역 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 계산기는 대수 함수의 정의역과 치역을 찾는 데 도움을 줍니다. 함수를 공부하는 학생, 시험을 준비하는 수험생, 예제를 만드는 교사 등 누구에게나 단계별 분석과 명확한 구간 표기법 결과를 제공합니다.

함수의 정의역이란 무엇인가요?

함수의 정의역(Domain)은 함수가 유효한 출력을 생성하는 모든 가능한 입력값(일반적으로 x값)의 집합입니다. 다시 말해, 수학적 오류 없이 함수에 대입할 수 있는 모든 x값을 의미합니다.

정의역을 제한하는 일반적인 제약 조건은 다음과 같습니다:

• 0으로 나누기: 분수의 분모는 0이 될 수 없습니다.
• 음수의 제곱근: 실수 범위에서 짝수 제곱근(루트)은 근호 안의 값이 음수일 수 없습니다.
• 로그: 로그의 진수는 반드시 양수여야 합니다.
• 역삼각함수: 특정 입력 제한이 있습니다.

함수의 치역이란 무엇인가요?

함수의 치역(Range)은 함수가 생성할 수 있는 모든 가능한 출력값(일반적으로 y값)의 집합입니다. 이는 x가 정의역 전체에서 변할 때 f(x)가 실제로 가질 수 있는 모든 값을 나타냅니다.

치역을 구하려면 종종 다음을 분석해야 합니다:

• 최대값 및 최소값: 가장 큰 출력값과 가장 작은 출력값은 무엇인가?
• 점근적 거동: x가 무한대 또는 특정 값에 접근할 때 어떤 일이 발생하는가?
• 함수의 변환: 평행 이동과 확대/축소가 출력에 어떤 영향을 미치는가?

일반적인 함수 유형과 정의역/치역

정의역 구하는 방법 - 단계별 가이드

1단계: 잠재적 제약 조건 식별

입력 제한이 있는 연산을 찾습니다:

• 분수 - 분모는 0이 될 수 없음
• 짝수 제곱근(제곱근, 네제곱근 등) - 근호 안의 식은 음수가 아니어야 함
• 로그 - 진수는 반드시 양수여야 함

2단계: 제약되는 값 구하기

식별된 각 제약 조건에 대해 방정식이나 부등식을 풀어 제외할 값을 찾습니다.

3단계: 구간 표기법으로 정의역 작성

제약된 값을 제외하고 구간 표기법을 사용하여 정의역을 표현합니다. 포함되지 않는 값에는 소괄호 ( )를 사용하고, 포함되는 값에는 대괄호 [ ]를 사용합니다.

예제

예제 1: 유리함수

$f(x) = \frac{1}{x-2}$의 정의역 구하기

풀이: 분모 $x-2 = 0$은 $x = 2$일 때입니다. 따라서 정의역은 2를 제외한 모든 실수인 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$입니다.

예제 2: 무리함수

$f(x) = \sqrt{x-3}$의 정의역 구하기

풀이: 근호 안의 식 $x-3 \geq 0$이어야 하므로 $x \geq 3$입니다. 정의역은 $[3, +\infty)$입니다.

예제 3: 로그함수

$f(x) = \log(x+1)$의 정의역 구하기

풀이: 진수 $x+1 > 0$이어야 하므로 $x > -1$입니다. 정의역은 $(-1, +\infty)$입니다.

구간 표기법 가이드

• $(a, b)$ - 개구간: a와 b 사이의 모든 수 (a와 b 제외)
• $[a, b]$ - 폐구간: a와 b 사이의 모든 수 (a와 b 포함)
• $(a, b]$ - 반개구간: b는 포함하지만 a는 제외
• $[a, b)$ - 반개구간: a는 포함하지만 b는 제외
• $(-\infty, a)$ - a보다 작은 모든 수
• $(a, +\infty)$ - a보다 큰 모든 수
• $\cup$ - 합집합 기호: 두 개 이상의 구간을 결합

이 계산기 사용 팁

• 변수로 x를 사용하여 함수를 입력하세요.
• 지수는 ^ 또는 **를 사용하세요 (예: x^2 또는 x**2).
• 제곱근은 sqrt(x)를 사용하세요.
• 자연로그는 log(x)를 사용하세요.
• 삼각함수는 sin(x), cos(x), tan(x)를 사용하세요.
• 지수함수는 exp(x) 또는 e^x를 사용하세요.

자주 묻는 질문 (FAQ)

함수의 정의역이 비어 있을 수 있나요?

네, 함수가 정의되는 실수 x값이 하나도 없다면 정의역은 공집합일 수 있습니다. 예를 들어, $f(x) = \sqrt{-x^2-1}$은 $-x^2-1$이 항상 음수이므로 실수 정의역이 없습니다.

정의역과 치역의 차이점은 무엇인가요?

정의역은 모든 가능한 입력값(x값)을 의미하며, 치역은 모든 가능한 출력값(y값)을 의미합니다. 정의역은 함수에 넣을 수 있는 것, 치역은 함수에서 얻을 수 있는 것으로 생각하면 됩니다.

왜 무한대는 소괄호로 표기하나요?

무한대는 도달하거나 포함할 수 있는 실수가 아니기 때문에 항상 소괄호로 표기합니다. 우리는 무한대에 접근할 수는 있지만, 구간에 실제로 포함할 수는 없습니다.

추가 리소스

함수의 정의역과 치역에 대해 더 알아보기:

• 함수의 정의역 - 위키백과 (영어)
• 정의역과 치역 - 칸아카데미
• 정의역 - Wolfram MathWorld (영어)

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