インタラクティブ単位円ビジュアライザー

インタラクティブ単位円ビジュアライザー

インタラクティブ単位円ビジュアライザーは、角度と三角関数の関係を直感的に理解するための教育用ツールです。この動的なビジュアルでは、sin・cos・tan およびその逆数関数が単位円上の点とどのように対応しているかを視覚的に確認できます。

単位円とは？

単位円とは、原点 (0, 0) を中心とし、半径が 1 の円のことです。単位円は三角関数の基礎となり、三角関数の値に対する幾何学的な意味を与えます。

• 半径: 常に 1
• 中心: 原点 (0, 0)
• 方程式: $$x^2 + y^2 = 1$$

単位円上の三角関数

正の x 軸から測った角度 $\theta$ に対して、単位円上の点 P の座標は次のように表されます。

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

6 つの三角関数

• 正弦 (sin): $$\sin\theta = y$$
• 余弦 (cos): $$\cos\theta = x$$
• 正接 (tan): $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
• 余割 (csc): $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$ （$\sin\theta = 0$ のときは未定義）
• 割線 (sec): $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$ （$\cos\theta = 0$ のときは未定義）
• 余接 (cot): $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

代表的な角度とその値

単位円には、覚えておくと便利な「特別な角度」がいくつかあります。特に 30 度と 45 度の倍数に対応する角度です。

度	ラジアン	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	1	0	未定義
180	$\pi$	0	-1	0
270	$\frac{3\pi}{2}$	-1	0	未定義

4 つの象限

座標平面は 4 つの象限に分かれており、各象限で三角関数の符号が異なります。

• 第1象限 (0–90°): すべての三角関数が正
• 第2象限 (90–180°): sin と csc のみ正
• 第3象限 (180–270°): tan と cot のみ正
• 第4象限 (270–360°): cos と sec のみ正

英語の語呂合わせ：ASTC – "All Students Take Calculus"

このツールの使い方

1. 入力欄に角度の値を入力します。
2. 角度の単位として「度」か「ラジアン」を選択します。
3. 「計算」をクリックすると、単位円の図とすべての三角関数の値が表示されます。
4. 代表的な角度は、リンクをクリックするだけで素早く設定できます。

ビジュアライゼーションの読み方

インタラクティブな図は次の要素を示します。

• 青い円: 半径 1 の単位円
• 赤い点: 指定した角度に対応する単位円上の点
• 緑の線: cos を表す水平距離（x 座標）
• 青の線: sin を表す垂直距離（y 座標）
• オレンジ色の弧: 正の x 軸から測った角度の弧
• 紫の破線: 接線（tan）を表す直線

単位円の応用例

• 物理学: 波動、振動、等速円運動
• 工学: 信号処理、交流回路、回転運動
• コンピュータグラフィックス: 回転、アニメーション、ゲーム開発
• ナビゲーション: GPS 計算、測量
• 音楽: 音波解析、オーディオ合成

参考リンク

• 単位円 - Wikipedia
• Unit Circle - Wolfram MathWorld
• 三角関数 - Wikipedia