Калькулятор закона синусов

О Калькулятор закона синусов

Добро пожаловать в наш Калькулятор закона синусов — онлайн‑инструмент для решения треугольников с помощью закона синусов. Он позволяет находить неизвестные стороны и углы в случаях ASA, AAS и SSA, а также анализировать неоднозначный случай SSA, когда возможно два разных треугольника.

Что такое закон синусов?

Закон синусов связывает длины сторон треугольника с синусами противолежащих углов. Он записывается так:

$$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

где $a$, $b$ и $c$ — длины сторон, лежащих напротив углов $A$, $B$ и $C$ соответственно.

Ключевые возможности калькулятора

• Несколько типов задач: поддержка случаев ASA, AAS и SSA.
• Определение неоднозначности SSA: автоматическая проверка, существуют ли 0, 1 или 2 подходящих треугольника.
• Разные единицы измерения: работа в градусах и радианах.
• Пошаговые решения: подробные пояснения каждого шага вычислений.
• Графическое представление: построение треугольника по найденным сторонам и углам.
• Проверка данных: информативные сообщения об ошибках для противоречивых или неверных входных значений.

Типы задач

ASA (угол–сторона–угол)

Если известны два угла и сторона между ними, треугольник однозначно определён. Сначала вычисляется третий угол, затем по закону синусов находятся остальные стороны.

• Дано: углы $A$ и $C$ и сторона $b$ между ними.
• Найти: угол $B$ и стороны $a$ и $c$.
• Решение: одно (один треугольник).

AAS (угол–угол–сторона)

Если известны два угла и одна сторона (необязательно между ними), можно восстановить все элементы треугольника.

• Дано: углы $A$ и $B$ и сторона $a$.
• Найти: угол $C$ и стороны $b$ и $c$.
• Решение: одно.

SSA (сторона–сторона–угол) — неоднозначный случай

Если известны две стороны и угол напротив одной из них, могут возникнуть разные ситуации:

• Нет решения: ни один треугольник не удовлетворяет данным.
• Одно решение: существует единственный треугольник.
• Два решения: существуют два различных треугольника (неоднозначный случай SSA).

Дано: стороны $a$ и $b$ и угол $A$.

Наш калькулятор автоматически определяет, к какому случаю относятся введённые значения, и выводит все корректные решения.

Как пользоваться калькулятором закона синусов

1. Выберите тип случая: ASA, AAS или SSA в выпадающем списке.
2. Выберите единицу угла: градусы или радианы.
3. Введите данные:
   • ASA: Вход 1 = угол A, Вход 2 = сторона b, Вход 3 = угол C
   • AAS: Вход 1 = угол A, Вход 2 = угол B, Вход 3 = сторона a
   • SSA: Вход 1 = сторона a, Вход 2 = сторона b, Вход 3 = угол A
4. Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить решение.
5. Изучите пошаговое решение и визуализацию треугольника.

Применения закона синусов

Закон синусов широко используется в различных областях:

• Навигация: определение положения и расстояний методом триангуляции.
• Астрономия: вычисление расстояний до небесных объектов.
• Геодезия и картография: измерение труднодоступных расстояний и площадей.
• Инженерия: расчёт конструкций и анализ нагрузок.
• Физика: разложение сил и векторный анализ.
• Компьютерная графика: 3D‑моделирование и расчёт проекций.

Математическое обоснование

Закон синусов можно вывести из формулы площади треугольника. Для треугольника с площадью $K$ справедливо:

$$K = \frac{1}{2}ab\sin(C) = \frac{1}{2}bc\sin(A) = \frac{1}{2}ac\sin(B)$$

Приравнивая эти выражения и упрощая, получаем закон синусов.

Важные свойства

• Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна $180°$ (или $\\pi$ радиан).
• Наибольшая сторона всегда лежит напротив наибольшего угла, а наименьшая — напротив наименьшего угла.

Другие сопутствующие инструменты:

Калькуляторы тригонометрии:

• Калькулятор закона синусов Новый
• Калькулятор прямоугольного треугольника Новый
• Калькулятор синуса высокой точности Новый
• Калькулятор гиперболических функций высокой точности Новый
• Калькулятор арксинуса (обратного синуса) Новый
• Калькулятор арккосинуса (обратного косинуса) Новый
• Калькулятор косинуса высокой точности Новый
• Калькулятор тангенса высокой точности Новый
• Калькулятор косеканса/секанса/котангенса Новый
• Калькулятор арктангенса (arctan) Новый
• Калькулятор Arctan2 Новый