Интерактивный визуализатор единичной окружности

О Интерактивный визуализатор единичной окружности

Добро пожаловать в интерактивный визуализатор единичной окружности — учебный инструмент, который поможет вам понять фундаментальные связи между углами и тригонометрическими функциями. Эта динамическая визуализация показывает, как sin, cos, tan и их обратные функции связаны с точками на единичной окружности.

Что такое единичная окружность?

Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0). Она лежит в основе тригонометрии и позволяет геометрически интерпретировать значения тригонометрических функций.

• Радиус: Всегда равен 1
• Центр: В точке (0, 0)
• Уравнение: $$x^2 + y^2 = 1$$

Тригонометрические функции на единичной окружности

Для любого угла $\theta$, отсчитываемого от положительной полуоси x, точка P на единичной окружности имеет координаты:

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

Шесть тригонометрических функций

• Синус (sin): $$\sin\theta = y$$
• Косинус (cos): $$\cos\theta = x$$
• Тангенс (tan): $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
• Косеканс (csc): $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$ (неопределён, когда $\sin\theta = 0$)
• Секанс (sec): $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$ (неопределён, когда $\cos\theta = 0$)
• Котангенс (cot): $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

Ключевые углы и их значения

На единичной окружности существует несколько важных углов, которые полезно запомнить. Эти «особые углы» соответствуют кратным 30° и 45°:

Градусы	Радианы	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	1	0	Неопределено
180	$\pi$	0	-1	0
270	$\frac{3\pi}{2}$	-1	0	Неопределено

Четыре четверти

Плоскость координат делится на четыре четверти, и знаки тригонометрических функций в каждой из них различаются:

• I четверть (0–90°): Все функции положительны (A)
• II четверть (90–180°): Положительны только sin и csc (S)
• III четверть (180–270°): Положительны только tan и cot (T)
• IV четверть (270–360°): Положительны только cos и sec (C)

Мнемоника на английском: ASTC – "All Students Take Calculus".

Как пользоваться этим инструментом

1. Введите значение угла в поле ввода.
2. Выберите, задан ли угол в градусах или радианах.
3. Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть визуализацию и все тригонометрические значения.
4. Используйте ссылки для быстрого выбора распространённых углов.

Понимание визуализации

Интерактивная диаграмма показывает:

• Синее кольцо: Единичная окружность радиуса 1
• Красная точка: Точка на окружности, соответствующая выбранному углу
• Зелёная линия: Представляет cos (горизонтальное расстояние от начала координат)
• Синяя линия: Представляет sin (вертикальное расстояние от начала координат)
• Оранжевая дуга: Дуга угла от положительной оси x
• Пурпурная пунктирная линия: Представляет касательную (tan)

Применение единичной окружности

• Физика: Волновые процессы, колебания, движение по окружности
• Инженерия: Обработка сигналов, цепи переменного тока, вращательная механика
• Компьютерная графика: Повороты, анимация, разработка игр
• Навигация: Расчёты GPS, геодезия
• Музыка: Анализ звуковых волн, синтез аудио

Дополнительные ресурсы

• Тригонометрический круг – Википедия
• Unit Circle – Wolfram MathWorld
• Тригонометрические функции – Википедия