余弦定理计算器
使用余弦定理求解三角形。支持 SAS（边-角-边）和 SSS（边-边-边）情况。获取逐步解题步骤、交互式三角形可视化、面积、周长以及三角形分类！
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余弦定理计算器
欢迎使用我们的余弦定理计算器，这是一个用于求解三角形的强大三角学工具。无论您已知两边及其夹角 (SAS)，还是已知所有三条边 (SSS)，此计算器都能提供完整的解法，包括分步说明、交互式可视化以及面积和周长等其他三角形属性。
什么是余弦定理？
余弦定理（也称为余弦规则）是三角学中的一个基本定理，它将任何三角形三边的长度与其中一个角的余弦值联系起来。它是勾股定理的推广，适用于所有三角形，而不仅仅是直角三角形。
其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是边的长度，$C$ 是边 $c$ 的对角。该公式可以重新排列以求出任何边或角：
当已知所有边时求解角度：
理解三角形情况
当您已知两条边及其夹角时。
- 已知： 边 $a$ 和 $b$，角 $C$
- 求解： 边 $c$，角 $A$ 和 $B$
- 方法： 使用 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$
当您已知三角形的所有三条边时。
- 已知： 边 $a$、$b$ 和 $c$
- 求解： 角 $A$、$B$ 和 $C$
- 要求： 必须满足三角形不等式
如何使用此计算器
- 选择情况类型： 如果您有两边和夹角，请选择 SAS；如果您有所有三条边，请选择 SSS。
- 选择角度单位： 根据您的输入数据选择度数或弧度。
- 输入您的数值：
- SAS： 输入边 a、边 b 和角 C（夹角）
- SSS： 输入所有三条边 a、b 和 c
- 点击计算： 获取完整的三角形解，包括所有边、角、面积和周长。
- 查看解法： 查看分步计算过程和交互式三角形可视化。
余弦定理的应用
余弦定理与勾股定理
余弦定理是勾股定理的推广。当角 $C = 90°$ 时，$\cos(90°) = 0$，因此公式简化为：
这正是勾股定理！余弦定理将这种关系扩展到任何三角形，而不仅仅是直角三角形。
三角形不等式定理
为了使三条长度构成一个有效的三角形，它们必须满足三角形不等式定理：任意两边之和必须大于第三边。
- $a + b > c$
- $a + c > b$
- $b + c > a$
我们的计算器会自动根据此定理验证 SSS 输入。
三角形分类
余弦定理可以帮助确定三角形的类型：
- 锐角三角形： 如果 $c^2 < a^2 + b^2$（所有角都小于 90°）
- 直角三角形： 如果 $c^2 = a^2 + b^2$（有一个角正好是 90°）
- 钝角三角形： 如果 $c^2 > a^2 + b^2$（有一个角大于 90°）
余弦定理与正弦定理
这两个定理对于求解三角形都是必不可少的，但它们适用于不同的情况：
- 余弦定理： 最适合 SAS 和 SSS 情况
- 正弦定理： 最适合 ASA、AAS 和 SSA（存在多解可能）情况
- 对于钝角，余弦定理在计算上更稳定
- 结合使用这些定理，可以在已知充足信息的情况下求解任何三角形
常见问题
什么是余弦定理？
余弦定理是三角学中的一个基本定理，它将三角形三边的长度与其中一个角的余弦值联系起来。公式为 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是三角形的边，$C$ 是边 $c$ 的对角。它将勾股定理推广到所有三角形。
什么时候该用余弦定理而不是正弦定理？
在 SAS（边-角-边）和 SSS（边-边-边）情况下使用余弦定理。在 ASA（角-边-角）、AAS（角-角-边）和 SSA（边-边-角）情况下使用正弦定理。对于小角度，余弦定理在计算上更稳定。
求解三角形中的 SAS 情况是什么？
SAS（Side-Angle-Side）是指已知三角形的两条边及其夹角的情况。使用余弦定理，您可以求出第三边，然后计算剩余的角度。
求解三角形中的 SSS 情况是什么？
SSS（Side-Side-Side）是指已知三角形所有三条边长度的情况。使用经过变形的余弦定理来求解角度，您可以求出所有三个角。三角形必须满足三角形不等式定理。
如何判断三条边能否构成一个有效的三角形？
如果三条边满足三角形不等式定理，则它们可以构成有效的三角形：任意两边之和必须大于第三边。这意味着 $a + b > c$、$a + c > b$ 和 $b + c > a$ 必须全部成立。
余弦定理与勾股定理有什么关系？
余弦定理是勾股定理的推广。当角 $C$ 为 90° 时，$\cos(90°) = 0$，因此公式 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ 简化为 $c^2 = a^2 + b^2$，即勾股定理。
更多资源
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由 miniwebtool 团队制作。最后更新：2026年1月19日
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