概率分布计算器

概率分布计算器

欢迎使用我们的概率分布计算器，这是一款综合工具，旨在通过详细的分步解决方案计算各种概率分布的概率、累积概率和分位数。此计算器非常适合学生、教师以及任何从事概率和统计工作的人。

概率分布计算器的特点

• 分步解决方案：了解概率计算中涉及的每一步。
• 用户友好的界面：轻松输入参数并即时获得结果。
• 支持多种分布：正态分布、二项分布、泊松分布、指数分布和均匀分布。

理解概率分布

概率分布描述了概率如何分布在随机变量的取值上。以下是每种支持的分布的公式和比较。

正态分布

正态分布是一种以均值 \( \mu \) 和标准差 \( \sigma \) 为特征的连续概率分布。

• PDF: \( f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{- \dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \dfrac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right] \)
• 分位数函数：\( x = \mu + \sigma \Phi^{-1}(p) \)

二项分布

二项分布是一种离散概率分布，表示 \( n \) 次独立伯努利试验中成功的次数，成功概率为 \( p \)。

• PMF: \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \)
• CDF: \( F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1 - p)^{n - i} \)
• 分位数函数：给定 \( p \) 的 CDF 的逆。

泊松分布

泊松分布是一种离散概率分布，表示在固定时间或空间间隔内发生给定次数事件的概率。

• PMF: \( P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = P(X \leq k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \dfrac{\lambda^{i}}{i!} \)
• 分位数函数：给定 \( p \) 的 CDF 的逆。

指数分布

指数分布是一种连续概率分布，常用于模拟独立事件之间的时间，这些事件以恒定的平均速率发生。

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{- \lambda x} \) for \( x \geq 0 \)
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{- \lambda x} \)
• 分位数函数：\( x = -\dfrac{1}{\lambda} \ln(1 - p) \)

均匀分布

均匀分布是一种连续概率分布，在区间 \( [a, b] \) 内所有相同长度的区间具有相同概率。

• PDF: \( f(x) = \dfrac{1}{b - a} \) for \( a \leq x \leq b \)
• CDF: \( F(x) = \dfrac{x - a}{b - a} \) for \( a \leq x \leq b \)
• 分位数函数：\( x = a + p(b - a) \)

比较与应用

每种分布具有不同的用途，并模拟不同类型的数据：

• 正态分布：用于围绕均值聚集的连续数据。适用于自然科学和社会科学。
• 二项分布：模拟固定次数独立伯努利试验中的成功次数。用于质量控制和遗传学。
• 泊松分布：适用于在固定间隔内计数事件的次数。用于电信和交通工程。
• 指数分布：模拟泊松过程中的事件间时间。用于可靠性工程和排队理论。
• 均匀分布：表示区间内的等概率。用于模拟和随机抽样。

如何使用概率分布计算器

• 选择您想要使用的分布。
• 选择计算类型：PDF/PMF、CDF 或分位数 (逆 CDF)。
• 输入所需的参数和值或概率。
• 点击“计算”以处理您的输入。
• 查看结果以及详细的分步解决方案。

附加资源

• 概率分布 - 维基百科
• 统计与概率 - 可汗学院
• 麻省理工学院开放课程 - 概率与统计导论

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