導関数電卓

さまざまな種類の関数（単変数、多変数、暗黙関数、方向導関数）の導関数を計算し、詳細なステップバイステップの解答を得る！

導関数電卓

単変数導関数電卓
偏導関数電卓
暗黙導関数電卓
方向導関数電卓

私たちの包括的な導関数電卓スイートへようこそ。詳細なステップバイステップの解答付きで、さまざまなタイプの導関数を扱うよう設計されています。単変数関数からより複雑な多変数シナリオまで、私たちのツールは学生、教育者、専門家が正確かつ効率的に微分を行うのをサポートします。

単変数導関数は、関数が一つの独立変数に対してどのように変化するかの率を測定します。これは微積分の基本概念であり、物理学、工学、経済学などで広く応用されています。

計算方法:

導関数の定義: \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]
微分規則の適用: 関数の種類（多項式、三角関数など）に応じて、べき乗法則、連鎖律、積の法則などの適切な微分規則を適用します。
高階導関数: 一階導関数を繰り返し微分することで、二階、三階、またはそれ以上の導関数を取得します。

例: \( f(x) = \sin(x) \cdot e^x \) の一階導関数を計算します。

積の法則を使用して： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x)] \cdot e^x + \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}[e^x] = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \]

偏導関数は、導関数の概念を複数の変数を持つ関数に拡張します。これらは、他の変数を定数として保持しながら、一つの変数に対する関数の変化率を測定します。これは多変数微積分、最適化問題、物理学や工学などの分野で重要です。

計算方法:

例: \( f(x, y) = x^2 \cdot y + \sin(z) \) の \( x \) に関する二階偏導関数を計算します。

暗黙的な微分は、関数が暗黙的に定義されている場合に使用されます。これにより、一つの変数を他の変数の関数として解かずに導関数を見つけることができます。これは、従属変数が独立変数と絡み合っている方程式に特に有用です。

計算方法:

例: 暗黙方程式 \( x^2 + y^2 = 1 \) の一階導関数 \( \frac{dy}{dx} \) を求めます。

方向導関数は、特定の方向における点での関数の変化率を測定します。これは、関数の勾配ベクトルと希望する方向の単位ベクトルの内積として計算されます。この概念はベクトル微積分で基本的であり、特に最適化や多変数関数の勾配分析において重要です。

計算方法:

方向ベクトルの決定: 導関数を取る方向ベクトル \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \) を識別します。
方向ベクトルの正規化: 方向ベクトルの大きさで \( \mathbf{v} \) を割り、単位ベクトル \( \mathbf{u} \) に変換します： \[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} \]
勾配ベクトルの計算: 勾配 \( \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \) を計算します。
方向導関数の計算: 勾配ベクトルと単位方向ベクトルの内積を取ります： \[ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \]
指定された点で評価する: 点の座標を勾配と方向ベクトルに代入して、方向導関数の数値を取得します。

例: \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) の方向導関数を点 \( (1, 1) \) でベクトル \( \mathbf{v} = (1, 0) \) の方向に計算します。

方向ベクトルの正規化： \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \] \[ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{1}, \frac{0}{1} \right) = (1, 0) \]
勾配ベクトルの計算： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x, 2y) \] 点 \( (1, 1) \) で： \[ \nabla f(1, 1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1) = (2, 2) \]
方向導関数の計算： \[ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = (2, 2) \cdot (1, 0) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 2 \]

したがって、関数 \( f(x, y) \) の点 \( (1, 1) \) におけるベクトル \( \mathbf{v} = (1, 0) \) の方向導関数は2です。