質數因子計算機

歡迎使用質數因子計算機，這是一個用於查找任何正整數質因數分解的綜合工具。無論您是正在學習質數的學生、解釋因式分解的老師，還是純粹對數字的數學組成感興趣，本計算機都能提供即時結果、分步解釋和視覺化因子樹圖表。

什麼是質因數分解？

質因數分解是將一個合數表示為其質數因子乘積的過程。根據算術基本定理，每個大於 1 的整數都可以唯一地表示為質數的乘積（不計因子的順序）。這種唯一的表示方式被稱為該數字的質因數分解。

例如，數字 360 的質因數分解為：

什麼是質數？

質數是個大於 1 的自然數，除了 1 和它本身外沒有其他正因數。前幾個質數是：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

請注意，1 不是質數，因為它只有一個因數（它本身），而質數必須恰好有兩個不同的因數。

如何找到質數因子

尋找質數因子最常用的方法是試除法：

1. 從最小的質數 (2) 開始：將數字除以 2，直到它不能再被 2 整除為止。
2. 移至下一個質數 (3)：儘可能多次地除以 3。
3. 繼續後續質數：測試 5、7、11、13 等。
4. 當商為 1 時停止：您所使用的所有除數就是質數因子。

範例：尋找 84 的質數因子

因此：84 = 2² × 3 × 7

什麼是因子樹？

因子樹是一種視覺圖表，顯示合數如何分解為其質數因子。從頂部的原始數字開始，每一步顯示該數字被拆分為兩個因數。該過程持續進行，直到底部所有的因數都是質數。

質因數分解的應用

尋找最大公因數和最小公倍數

質因數分解對於尋找兩個或多個數字的最大公因數 (GCD) 和最小公倍數 (LCM) 至關重要。GCD 是公共質因數最低冪的乘積，而 LCM 是所有質因數最高冪的乘積。

簡化分數

要將分數化簡為最簡形式，請找到分子和分母的質因數分解，然後約去公共因子。

密碼學

現代加密系統（如 RSA）依賴於分解超大數字的難度。雖然兩個大質數相乘很容易，但從其乘積中找回原始質數對於具有數百位數的數字來說，在計算上是極其困難的。

數論

質因數分解有助於確定各種數字屬性：

• 完全數：等於其真因數（除了自身以外的因數）之和的數字
• 過剩數：真因數之和超過該數字本身的數字
• 不足數：真因數之和小於該數字本身的數字
• 歐拉函數：與給定數字互質的整數個數

常見問題

什麼是質數因子？

質數因子是一個數字的因數，且該因數本身也是一個質數。質數是大於 1 的整數，除了 1 和它本身外沒有其他正因數。例如，12 的質數因子是 2 和 3，因為 12 = 2 × 2 × 3，且 2 和 3 都是質數。

如何找到質數因子？

要找到質數因子，首先將該數字儘可能多次地除以最小的質數 (2)。然後繼續除以下一個質數 (3)，接著是 5、7、11 等，直到商變為 1。所使用的每個質數除數就是質數因子。這種方法稱為試除法。

什麼是數字的質因數分解？

質因數分解是將一個數字表示為其質數因子的乘積。每個大於 1 的整數都可以唯一地表示為質數的乘積（算術基本定理）。例如，360 = 2³ × 3² × 5。

什麼是因子樹？

因子樹是一種視覺圖表，顯示合數如何分解為其質數因子。從頂部的原始數字開始，每一步顯示該數字被分解為兩個因數。該過程持續進行，直到底部所有的因數都是質數。

為什麼質因數分解很重要？

質因數分解是數學的基礎，具有許多應用：尋找數字的最大公因數 (GCD) 和最小公倍數 (LCM)、簡化分數、密碼學（RSA 加密依賴於分解大數的難度）、求解丟番圖方程，以及了解數字屬性（如完全數和過剩數）。

1 是質數因子嗎？

不是，1 不是質數，因此不能作為質數因子。根據定義，質數必須恰好有兩個不同的正因數：1 和它們本身。數字 1 只有一個因數（它本身），因此不符合質數的資格。

相關工具

• 質數檢查器 - 測試一個數字是否為質數
• 最大公因數計算機 - 尋找最大公因數
• 最小公倍數計算機 - 尋找最小公倍數
• 整除計算機 - 檢查整除規則

額外資源

• 質數 - 維基百科
• 整數分解 - 維基百科
• 算術基本定理 - 維基百科