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泊松分佈計算機
歡迎使用 泊松分佈計算機，這是一個全面的工具，用於計算泊松概率，並提供交互式可視化和分步解法。無論您是學習概率論的學生，還是分析事件數據的研究人員，亦或是使用統計模型的專業人士，此計算機都能為您提供準確的結果和詳細的說明。
什麼是泊松分佈？
泊松分佈是一種離散概率分佈，用於模擬在固定時間或空間間隔內發生的事件數量。它以法國數學家西莫恩·德尼·泊松的名字命名，是概率論和統計學中最重要的分佈之一。
泊松分佈由單一參數 lambda (λ) 表徵，該參數代表每個間隔的平均事件發生率。關鍵屬性包括：
- 事件獨立發生： 一個事件的發生不影響另一個事件發生的概率
- 恆定的平均速率： 事件以已知的恆定平均速率 λ 發生
- 無同時發生的事件： 兩個事件不能在完全相同的瞬間發生
- 均值等於方差： 對於泊松分佈，均值和方差都等於 λ
理解 Lambda (λ) 和 k
什麼是 Lambda (λ)？
Lambda (λ) 是泊松分佈的平均發生率參數。它代表每個間隔內的預期事件數。例如：
- 一個呼叫中心平均每小時接到 10 個電話 → λ = 10
- 一個網站平均每分鐘有 50 位訪問者 → λ = 50
- 一台機器平均每天產生 2 個缺陷 → λ = 2
什麼是 k？
變量 k 代表您想要計算其概率的特定事件數量。它必須是一個非負整數（0, 1, 2, 3, ...）。例如，如果您想知道一小時內恰好接到 3 個電話的概率，那麼 k = 3。
如何計算泊松分佈概率
- 確定參數： 確定平均事件發生率 (λ) 和您想要計算概率的事件數 (k)。
- 輸入數值： 在計算機中輸入代表平均發生率的 lambda (λ) 值和代表事件數的 k 值。
- 計算概率： 點擊“計算”以獲取 P(X = k)、P(X ≤ k)、P(X > k) 以及其他概率指標和可視化效果。
- 查看分步解法： 檢查詳細的數學步驟，了解如何使用泊松公式計算每個概率。
- 分析圖表： 使用 PMF 柱狀圖和 CDF 階梯圖可視化分佈並了解概率分佈情況。
示例：客戶到達
一家咖啡館平均每小時接待 5 名客戶。在給定的一小時內恰好有 3 名客戶到達的概率是多少？
解法： 當 λ = 5 且 k = 3 時：
$$P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{0.00674 \times 125}{6} \approx 0.1404$$
恰好有 3 名客戶到達的概率約為 14.04%。
概率類型說明
| 概率類型 | 符號 | 含義 |
|---|---|---|
| 精確概率 | P(X = k) | 恰好發生 k 次事件的概率 |
| 累計（最多） | P(X ≤ k) | 發生 k 次或更多次事件的概率 |
| 累計（少於） | P(X < k) | 發生少於 k 次事件的概率 |
| 尾部（多於） | P(X > k) | 發生多於 k 次事件的概率 |
| 尾部（至少） | P(X ≥ k) | 發生 k 次或更多次事件的概率 |
PMF 和 CDF 有什麼區別？
PMF（概率質量函數） 給出恰好發生 k 次事件的概率：P(X = k)。它顯示了每個特定 k 值的概率。
CDF（累計分佈函數） 給出最多發生 k 次事件的概率：P(X ≤ k)。它是從 0 到 k 的所有 PMF 值之和：
泊松分佈的应用
泊松分佈廣泛應用於許多領域：
- 商業： 模擬客戶到達、銷售交易、呼叫中心業務量
- 醫療保健： 分析疾病爆發、患者就診、罕見不良事件
- 技術： 網絡流量分析、服務器請求、系統故障
- 保險： 模擬理賠頻率、事故率
- 生物學： 計算細菌菌落、基因突變、放射性衰變
- 質量控制： 製造過程中的缺陷計數
何時使用泊松分佈
在以下情況下使用泊松分佈：
- 事件彼此獨立發生
- 事件以恆定的平均速率發生
- 兩個事件不能在完全相同的瞬間發生
- 您正在計算固定間隔內的離散事件
- 事件相對罕見（小間隔內發生事件的概率很小）
常見問題解答
什麼是泊松分佈？
泊松分佈是一種離散概率分佈，用於模擬在固定時間或空間間隔內發生的事件數量，前提是事件以已知的恆定平均發生率 (λ) 發生，且彼此獨立。它常用於模擬罕見事件，如客戶到達、系統故障或放射性衰變。
泊松分佈中的 lambda (λ) 是什麼？
Lambda (λ) 是泊松分佈的平均發生率參數。它代表每個間隔內的預期事件數。例如，如果一個呼叫中心平均每小時接到 5 個電話，那麼 λ = 5。Lambda 必須為正數，可以是任何大於零的實數。
如何計算泊松分佈的 P(X = k)？
恰好發生 k 次事件的概率使用泊松 PMF 公式計算：P(X = k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!。例如，當 λ = 5 且 k = 3 時：P(X = 3) = (e^(-5) × 5^3) / 3! = (0.00674 × 125) / 6 ≈ 0.1404，即約 14.04%。
泊松分佈中 PMF 和 CDF 有什麼區別？
PMF（概率質量函數）給出恰好發生 k 次事件的概率：P(X = k)。CDF（累計分佈函數）給出最多發生 k 次事件的概率：P(X ≤ k)，它是從 0 到 k 的所有 PMF 值之和。CDF 對於計算結果範圍的概率非常有用。
什麼時候應該使用泊松分佈？
在以下情況下使用泊松分佈：(1) 事件獨立發生，(2) 事件以恆定的平均速率發生，(3) 兩個事件不能在完全相同的瞬間發生，以及 (4) 您正在計算固定間隔內的事件數量。常見的應用包括模擬網站流量、保險索賠、設備故障和生物過程。
參考資料
引用此內容、頁面或工具為：
"泊松分佈計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/泊松分佈計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 miniwebtool 團隊創建。最後更新時間：2026年1月13日
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