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正弦計算機
歡迎使用正弦計算機,這是一個計算任何角度正弦值的全面且易於使用的工具。無論您是學習三角函數的學生、從事技術計算的工程師,還是任何需要精確正弦值的人,本計算機都能提供準確的結果,並附有互動式可視化圖形、分步解決方案和教育內容。
什麼是正弦函數?
正弦函數(簡寫為 sin)是數學中基本的三角函數之一。它將直角三角形中的角度與兩條邊的比值聯繫起來:
sin(θ) = 對邊 / 斜邊
更廣泛地說,在單位圓(以原點為中心、半徑為 1 的圓)上,角度 θ 的正弦被定義為角度終邊與圓相交點的 y 坐標。這個定義將正弦擴展到所有實數,而不僅僅是 0 到 90 度之間的角度。
正弦的主要性質
- 範圍:正弦函數的輸出值始終介於 -1 和 1 之間(含):-1 ≤ sin(θ) ≤ 1
- 週期:正弦每 360 度(或 2π 弧度)重複一次:sin(θ) = sin(θ + 360°)
- 奇函數:正弦關於原點反對稱:sin(-θ) = -sin(θ)
- 最大值:sin(90°) = 1
- 最小值:sin(270°) = -1
- 零點:sin(0°) = sin(180°) = sin(360°) = 0
如何計算正弦
按照以下步驟計算任何角度的正弦值:
- 輸入角度值:在角度欄位中輸入您的角度。您可以輸入整數、小數或數學表達式。
- 選擇角度單位:選擇您的角度是度(日常使用中最常見)還是弧度(數學和科學中的標準)。
- 設置精度:選擇您需要的小數位數(1 到 1000)。對於大多數應用,10 位小數的標準精度已足夠。
- 計算與分析:點擊「計算正弦」查看結果,以及互動式可視化、分步解決方案和其他資訊。
正弦的特殊角度值有哪些?
某些角度具有可以用簡單分數和平方根表示的精確正弦值。這些特殊角度在三角函數中至關重要:
| 角度 (度) | 角度 (弧度) | sin(θ) 精確值 | sin(θ) 小數值 |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0.0000 |
| 30° | π/6 | 1/2 | 0.5000 |
| 45° | π/4 | √2/2 | 0.7071 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 0.8660 |
| 90° | π/2 | 1 | 1.0000 |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | 0.8660 |
| 135° | 3π/4 | √2/2 | 0.7071 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | 0.5000 |
| 180° | π | 0 | 0.0000 |
| 270° | 3π/2 | -1 | -1.0000 |
| 360° | 2π | 0 | 0.0000 |
正弦與單位圓有什麼關係?
單位圓是在坐標平面上以原點 (0, 0) 為中心、半徑為 1 的圓。從正 x 軸逆時針測量的任何角度 θ 都對應於圓上唯一的點 (x, y),其中:
- x = cos(θ) - x 坐標等於角度的餘弦值
- y = sin(θ) - y 坐標等於角度的正弦值
這種關係提供了對三角函數直觀且可視化的理解。正弦值代表點相對於原點向上或向下的距離,範圍從 -1(最低)到 1(最高)。
各象限中的正弦
- 第一象限 (0° 到 90°):正弦為正(點在 x 軸上方)
- 第二象限 (90° 到 180°):正弦為正(點在 x 軸上方)
- 第三象限 (180° 到 270°):正弦為負(點在 x 軸下方)
- 第四象限 (270° 到 360°):正弦為負(點在 x 軸下方)
度與弧度之間的關係是什麼?
度和弧度是測量角度的兩種不同單位:
- 一全圈 = 360 度 = 2π 弧度
- 平角 = 180 度 = π 弧度
- 直角 = 90 度 = π/2 弧度
弧度 = 度 × (π / 180)
度 = 弧度 × (180 / π)
弧度是微積分、物理和高等數學中的標準單位,因為它們能簡化許多公式。度對於日常應用和基礎幾何則更為直觀。
重要的正弦恆等式
涉及正弦的三角恆等式是數學中必不可少的工具:
勾股恆等式
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
餘角恆等式
sin(θ) = cos(90° - θ)
倍角公式
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ)
和差公式
- sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
- sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)
正弦的應用
正弦函數在各個領域有著廣泛的應用:
- 物理學:波動、振盪、電磁波和簡諧運動
- 工程學:信號處理、電路、結構分析和機器人技術
- 導航:GPS 計算、方位確定和距離測量
- 電腦圖形學:旋轉變換、3D 渲染和動畫
- 建築學:計算屋頂坡度、結構角度和太陽位置
- 音樂:聲波分析和音訊信號處理
常見問題
什麼是正弦函數?
正弦函數 (sin) 是一個基本的三角函數,它將直角三角形中的一個角與對邊與斜邊的比值聯繫起來。在單位圓上,正弦代表從正 x 軸出發的給定角度點的 y 坐標。正弦函數的範圍是 -1 到 1,週期為 360 度 (2π 弧度)。
如何計算正弦?
要計算正弦:1) 確定角度及其單位(度或弧度)。2) 如果是度,您可以使用 弧度 = 度 × (π/180) 轉換為弧度。3) 確定象限以了解正弦的正負號。4) 使用單位圓定義進行計算,其中 sin(θ) 等於 y 坐標。對於 0°、30°、45°、60° 和 90° 等特殊角度,存在使用分數和平方根的精確值。
正弦的特殊角度值有哪些?
特殊角度及其正弦值為:sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2 = 0.5, sin(45°) = √2/2 ≈ 0.707, sin(60°) = √3/2 ≈ 0.866, sin(90°) = 1, sin(180°) = 0, sin(270°) = -1, sin(360°) = 0。這些精確值源自等邊和等腰直角三角形的幾何特性。
正弦與單位圓有什麼關係?
在單位圓(以原點為中心、半徑為 1 的圓)上,從正 x 軸測量的任何角度 θ 都對應於圓上的一點 (x, y),其中 x = cos(θ) 且 y = sin(θ)。這個幾何定義將正弦函數擴展到所有角度,而不僅僅是三角形中的銳角。正弦在第一和第二象限為正,在第三和第四象限為負。
度與弧度之間的關係是什麼?
度與弧度是測量角度的兩種單位。一圈等於 360 度或 2π 弧度。轉換公式:弧度 = 度 × (π/180) 且 度 = 弧度 × (180/π)。常見轉換包括:90° = π/2 rad, 180° = π rad, 270° = 3π/2 rad, 以及 360° = 2π rad。弧度是微積分和高等數學中的標準單位。
其他資源
引用此內容、頁面或工具為:
"正弦計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/正弦計算機/,來自 MiniWebtool,https://MiniWebtool.com/
由 miniwebtool 團隊製作。更新日期:2026年1月9日
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