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有理式計算機
歡迎使用有理式計算機，這是一款功能強大的代數工具，可以進行有理式的化簡、加、減、乘、除運算，並提供詳細的分步解答。無論您是在學習多項式分數、為微積分的部分分式分解做準備，還是通過公因式分析來研究表達式結構，本計算機都能在每一步提供清晰的解釋。
什麼是有理式？
有理式（Rational Expression）是一個分子和分母均為多項式的分式。正如有理數（如 \(\frac{3}{4}\)）是整數的比率一樣，有理式（如 \(\frac{x^2 - 1}{x + 1}\)）是多項式的比率。有理式廣泛應用於代數、微積分、物理學和工程學中。
支援的運算方式
通過因式分解和約掉公因式，將有理式化為最簡形式。
範例： \(\frac{x^2-1}{x-1} = x+1\)
尋找公分母，合併分子並化簡結果。
範例： \(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{2x}{x^2-1}\)
尋找公分母，將分子相減並化簡。
範例： \(\frac{x}{x+2} - \frac{2}{x+2} = \frac{x-2}{x+2}\)
將分子與分子相乘，分母與分母相乘，然後進行化簡。
範例： \(\frac{x+2}{x-1} \times \frac{x-1}{x+3} = \frac{x+2}{x+3}\)
乘以除數的倒數，然後進行化簡。
範例： \(\frac{x^2-4}{x+1} \div (x-2) = \frac{x+2}{x+1}\)
分解為多個較簡單分式的和，這對微積分中的積分運算至關重要。
範例： \(\frac{2x+3}{x^2-1} \to \frac{5}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}\)
分解分子和分母，找出並顯示最大公因式 (GCD)。
範例： 分析 \(\frac{6x^2+9x}{2x+3}\) 的因式
如何使用此計算機
- 輸入表達式 1： 使用標準符號輸入您的有理式。使用
^表示指數，/表示分數，並使用括號進行分組。支援隱含乘法（例如，輸入2x即代表2*x）。 - 選擇運算： 點擊運算卡片或使用下拉選單。對於化簡、部分分式和顯示因式，僅需輸入表達式 1。
- 輸入表達式 2（如有需要）： 對於加、減、乘、除運算，請提供第二個表達式。
- 點擊計算： 查看分步解答，包括結構分析、定義域限制以及結果的替代形式。
表達式輸入指南
- 乘法： 使用
*或直接將變數寫在一起（如2x或2*x） - 除法 / 分數： 使用
/，對於複雜的分式請使用括號：(x+1)/(x-1) - 指數： 使用
^或**（例如x^2或x**2） - 括號： 務必對複雜的分子和分母進行分組：
(x^2+1)/(x-3) - 函數： 支援：
sqrt(x),sin(x),cos(x),ln(x),exp(x)
x+1/x-1 會被解釋為 x + (1/x) - 1，而非 (x+1)/(x-1)。
有理式的重要性質
化簡規則
- 先因式分解： 在約分之前，務必先將分子和分母完全分解。
- 僅約掉因式： 只有「因式」（相乘的項）可以被約掉，絕不能約掉個別相加或相減的「項」。
- 定義域限制： 使原始分母為零的值必須排除，即使在化簡之後也是如此。
算術規則
常見錯誤提示
x+1/x-1 會得到 \(x + \frac{1}{x} - 1\)，而不是 \(\frac{x+1}{x-1}\)。請務必使用 (x+1)/(x-1)。
有理式計算的應用
- 微積分： 用於積分的部分分式分解、極限計算以及羅必達法則
- 代數： 求解有理方程和不等式
- 物理學： 透鏡方程、並聯電阻、波動力學
- 工程學： 控制系統中的傳遞函數、訊號處理
- 化學： 速率方程和平衡常數表達式
- 經濟學： 成本函數、邊際分析和最優化
常見問題
什麼是有理式？
有理式是一個分數，其分子和分母均為多項式。範例包括 \(\frac{x+1}{x-1}\)、\(\frac{x^2-4}{x^2+3x+2}\) 和 \(\frac{1}{x}\)。正如有理數是整數的比率一樣，有理式是多項式的比率。
如何化簡有理式？
化簡步驟：1) 將分子和分母完全分解。2) 找出公因式。3) 約掉公因式。例如，\(\frac{x^2-1}{x-1}\) 因式分解為 \(\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\)，約掉 \((x-1)\) 後，簡化形式為 \(x+1\)。
如何進行有理式的加法或減法？
找出最小公分母 (LCD)，將每個分式重寫為具有該公分母的形式，合併分子並化簡。例如：\(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{x^2-1}\)。
什麼是部分分式分解？
部分分式分解是將複雜的有理式拆解為多個較簡單分式的和。這在微積分的積分運算中非常有用。例如，\(\frac{2x+3}{x^2-1}\) 可以分解為具有線性分母的較簡單分式。
什麼是定義域限制？
定義域限制是指會使任何分母等於零的值。由於除以零是未定義的，這些值必須從定義域中排除。例如，在 \(\frac{x+1}{x-2}\) 中，限制條件為 \(x \neq 2\)。
為什麼不能約掉有理式中的項？
您只能約掉共同的「因式」，而不能約掉「項」。因式是與整個表達式相乘的，而項則是相加或相減的。在 \(\frac{x+2}{x}\) 中，分子中的 \(x\) 與 2 相加（是一個項），而不是與其餘部分相乘（不是因式）。但在 \(\frac{x(x+2)}{x(x-1)}\) 中，\(x\) 是公因式，可以約掉。
更多資源
引用此內容、頁面或工具為：
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由 miniwebtool 團隊提供。更新日期：2026年2月13日
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