收斂半徑計算機
使用比值審斂法（Ratio Test）或根值審斂法（Root Test）確定冪級數的收斂半徑與收斂區間，提供逐步解題過程、收斂視覺化圖表以及端點分析。
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收斂半徑計算機
歡迎使用收斂半徑計算機，這是一個用於分析冪級數收斂性的綜合工具。無論您是在學習微積分、準備考試還是進行數學研究，本計算機都能使用比例審斂法或根值審斂法確定收斂半徑和收斂區間，並提供帶有數學符號的詳細逐步解決方案。
什麼是收斂半徑？
冪級數 \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \) 的收斂半徑 \( R \) 是一個非負擴展實數，使得當 \( |x - c| < R \) 時級數絕對收斂，當 \( |x - c| > R \) 時級數發散。在邊界 \( |x - c| = R \) 處，必須分別檢查每個端點的收斂性。
收斂半徑定義了一個圍繞中心 \( c \) 的對稱區間，在該區間內冪級數表示一個定義良好的函數。這個概念在分析學、微分方程和許多應用數學領域中都至關重要。
冪級數一般形式
尋找收斂半徑的方法
比例審斂法
最常用的方法。計算極限：
當通項涉及階乘、指數或乘積時，比例審斂法特別有效。它直接比較了相鄰項的增長率。
根值審斂法（柯西-阿達馬定理）
一種有時更強大的替代方法：
當通項涉及像 \( a_n = r^n \) 這樣的 n 次方，或相鄰項之比難以簡化的表達式時，根值審斂法特別有用。
如何使用此計算機
- 選擇輸入模式： 以數學表達式形式輸入通項 \( a_n \)，或提供係數列表。
- 指定中心： 輸入冪級數的中心 \( c \)（麥克勞林級數默認為 0）。
- 選擇審斂法： 根據級數的形式選擇比例審斂法或根值審斂法。
- 計算： 點擊按鈕查看收斂半徑、收斂區間、逐步推導過程和收斂視覺化。
理解結果
三種可能的結果
- \( R = \infty \)： 級數對於所有實數 \( x \) 都收斂。範例包括 \( e^x, \sin(x), \cos(x) \)。
- \( 0 < R < \infty \)： 級數在開區間 \( (c - R, c + R) \) 內收斂，在區間外發散。端點需要單獨分析。
- \( R = 0 \)： 級數僅在中心 \( x = c \) 處收斂。例如：\( \sum n! \cdot x^n \)。
端點分析
當 \( 0 < R < \infty \) 時，比例審斂法和根值審斂法在 \( x = c \pm R \) 處無法給出結論。您需要額外的審斂法：
- 交錯級數審斂法： 用於在端點符號交替的級數
- p-級數審斂法： 與 \( \sum 1/n^p \) 進行比較
- 比較審斂法： 與已知的收斂或發散級數進行比較
- 發散項判別法： 如果項不趨於零，則級數發散
常見冪級數及其半徑
| 函數 | 冪級數 | 半徑 R | 區間 |
|---|---|---|---|
| \( e^x \) | \( \sum \frac{x^n}{n!} \) | \( \infty \) | \( (-\infty, \infty) \) |
| \( \sin(x) \) | \( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) | \( \infty \) | \( (-\infty, \infty) \) |
| \( \cos(x) \) | \( \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) | \( \infty \) | \( (-\infty, \infty) \) |
| \( \frac{1}{1-x} \) | \( \sum x^n \) | \( 1 \) | \( (-1, 1) \) |
| \( \ln(1+x) \) | \( \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \) | \( 1 \) | \( (-1, 1] \) |
| \( \arctan(x) \) | \( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \) | \( 1 \) | \( [-1, 1] \) |
| \( (1+x)^\alpha \) | \( \sum \binom{\alpha}{n} x^n \) | \( 1 \) | 取決於 \( \alpha \) |
何時使用每種審斂法
在以下情況使用比例審斂法：
- 通項包含階乘（例如 \( n! \), \( (2n)! \)）
- 項涉及連續整數的乘積
- 您可以輕鬆簡化比例 \( a_{n+1}/a_n \)
在以下情況使用根值審斂法：
- 通項具有 \( (f(n))^n \) 的形式
- 項涉及在 n 次根號下可簡化的 n 次方
- 比例審斂法無效（兩者都有效時結果一致，但根值審斂法理論上更強大）
輸入語法指南
- 次方： 使用
**或^（例如n**2或n^2） - 階乘： 使用
factorial(n)（例如1/factorial(n)） - 常用函數：
sin,cos,tan,exp,log,ln,sqrt - 常數：
pi,e - 變量： 使用
n作為索引變量，x作為級數變量
常見問題
什麼是收斂半徑？
冪級數的收斂半徑 R 是從級數中心到級數收斂區域邊界的距離。對於以 a 為中心的冪級數，當 |x - a| < R 時級數絕對收斂，當 |x - a| > R 時級數發散。R 可以是 0（僅在中心收斂）、正數或無限大（處處收斂）。
如何使用比例審斂法找到收斂半徑？
使用比例審斂法尋找收斂半徑：計算 L = lim(n 趨於無窮) |a_{n+1}/a_n|。收斂半徑為 R = 1/L。如果 L = 0，則 R = 無限大（處處收斂）。如果 L = 無限大，則 R = 0（僅在中心收斂）。當 |x - a| < R 時級數絕對收斂。
比例審斂法和根值審斂法有什麼區別？
這兩種方法都能確定收斂半徑，但方法不同。比例審斂法計算 |a_{n+1}/a_n| 的極限，而根值審斂法計算 |a_n|^(1/n) 的極限。根值審斂法有時更強大（它適用於所有比例審斂法適用的情況，以及一些後者不適用的情況），但對於涉及階乘的表達式，比例審斂法通常更容易計算。
收斂半徑能告訴我們端點的情況嗎？
不能。收斂半徑僅告訴我們區間內的絕對收斂和區間外的發散。在端點 x = a - R 和 x = a + R 處，級數可能收斂也可能發散，必須使用其他測試（如交錯級數審斂法、p-級數審斂法或比較審斂法）單獨測試每個端點。
常見的冪級數及其收斂半徑有哪些？
常見範例包括：e^x 的 R = 無限大；sin(x) 和 cos(x) 的 R = 無限大；1/(1-x)（幾何級數）的 R = 1；ln(1+x) 的 R = 1；x^n/n! 的級數和 R = 無限大；n!*x^n 的級數和 R = 0。
其他資源
引用此內容、頁面或工具為：
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由 miniwebtool 團隊製作。更新日期：2026年2月18日
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