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反正切計算機
歡迎使用 反正切計算機，這是一個功能強大的工具，用於計算任何實數的反正切（arctan 或 tan-1）。無論您是在學習三角學、從事工程計算，還是需要精確的角度測量，本計算機都能提供高達 1000 位小數位精度的準確結果、互動式視覺化以及逐步解題說明。
什麼是反正切（Inverse Tangent）？
反正切，寫作 arctan(x) 或 tan-1(x)，是正切的逆函數。給定一個值 x，反正切函數返回正切值等於 x 的角度 θ。數學記法為：
反正切函數回答了這樣一個問題：「哪個角度的正切值等於這個數？」例如，因為 tan(45°) = 1，所以我們知道 arctan(1) = 45°（或 π/4 弧度）。
主值範圍
反正切函數返回主值，即開區間內的唯一角度：
- 弧度制： $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
- 角度制： (-90°, 90°)
此範圍確保反正切對每個輸入都有且僅有一个輸出。正切函數每隔 π 弧度（180°）重複一次，如果不限制範圍，將會有無窮多個有效答案。
反正切公式與性質
主要性質
- 定義域： 所有實數 (-∞, +∞)。您可以計算任何實數的反正切。
- 值域： $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 弧度或 (-90°, 90°)
- arctan(0) = 0： 0° 的正切值為 0
- arctan(1) = π/4 = 45°： 一個基本的特殊值
- arctan(-x) = -arctan(x)： 該函數是奇函數（關於原點對稱）
- 極限： 當 x → +∞ 時，arctan(x) → π/2；當 x → -∞ 時，arctan(x) → -π/2
通解
由於正切函數的週期為 π 弧度（180°），因此有無窮多個角度具有相同的正切值。所有滿足 tan(θ) = x 的角度 θ 的通解為：
常見反正切值
這些特殊角在數學中經常出現，建議記住他們的反正切值：
| tan(θ) | θ (角度) | θ (弧度) | 精確值 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 0 | 0 |
| 1/√3 ≈ 0.577 | 30° | 0.5236 | π/6 |
| 1 | 45° | 0.7854 | π/4 |
| √3 ≈ 1.732 | 60° | 1.0472 | π/3 |
| -1 | -45° | -0.7854 | -π/4 |
| -√3 ≈ -1.732 | -60° | -1.0472 | -π/3 |
如何使用此計算機
- 輸入您的正切值： 在輸入框中輸入任何實數。可以是正數、負數或零。例如：1, -0.5, 2.5, 1.732
- 設置小數精度： 選擇您希望結果保留的小數位數（1-1000）。默認值 10 適用於大多數應用。
- 點擊計算： 按下「計算反正切」按鈕。
- 查看結果： 結果以角度和弧度兩種單位顯示，並配有互動式視覺化圖表，顯示單位圓和反正切曲線上的角度。
- 查看逐步解決方案： 確切了解計算是如何进行的。
理解視覺化圖表
單位圓圖
單位圓視覺化將您計算出的角度顯示為從中心出發的半徑。藍色線是角度 θ 處的半徑，紅色點是圓上坐標為 (cos θ, sin θ) 的點，綠色線代表正切值（即在 x = 1 處的高度）。
反正切曲線圖
該圖顯示了完整的反正切函數，並將您的輸入值標記為紅色點。請注意曲線如何接近但永遠不會達到 ±π/2（水平虛線），這說明了為什麼值域是一個開區間。
反正切與其他反三角函數的比較
比較表
| 函數 | 輸入範圍 | 主值範圍 |
|---|---|---|
| arcsin(x) | [-1, 1] | [-π/2, π/2] |
| arccos(x) | [-1, 1] | [0, π] |
| arctan(x) | (-∞, +∞) | (-π/2, π/2) |
與僅接受 -1 到 1 之間輸入的 arcsin 和 arccos 不同，arctan 接受任何實數。這使得它在比率可能任意大的應用中特別有用。
反正切的应用
工程與物理
- 角度計算： 從坡度測量中尋找角度
- 信號處理： 電氣工程中的相位角計算
- 導航： 根據坐標差計算方位角
- 光學： 折射角計算
計算機圖形學
- 旋轉角度： 將方向向量轉換為角度
- 攝像機系統： 視野範圍計算
- 遊戲開發： 根據速度確定角色朝向
數學
- 微積分： 涉及反正切的積分（反正切的導數是 1/(1+x²)）
- 複變函數： 複數的輻角
- 級數展開： 用於計算 π 的反正切級數
atan2 函數
在編程和許多應用中，atan2(y, x) 函數比 arctan 更常用。雖然 arctan 接收單一的比值，但 atan2 接收獨立的 y 和 x 坐標。這保留了象限信息，並能處理 x = 0 的情況（這在 y/x 中會導致除以零）。
弧度與角度的轉換
$\text{弧度} = \text{角度} \times \frac{\pi}{180} \approx \text{角度} \times 0.01745$
常見問題解答
什麼是反正切（arctan）？
反正切，寫作 arctan(x) 或 tan-1(x)，是正切的逆函數。給定一個值 x，arctan(x) 返回其正切值等於 x 的角度 θ。結果始終在 -90° 到 90°（或 -π/2 到 π/2 弧度）的主值範圍內。
arctan 和 tan-1 有什麼區別？
arctan 和 tan-1 是同一個函數的兩種記法——反正切。兩種記法都表示「其正切值為……的角度」。注意 tan-1(x) 並不表示 1/tan(x)（即餘切）。
反正切的主值範圍是多少？
反正切的主值範圍是 (-π/2, π/2) 弧度，等於角度制的 (-90°, 90°)。這意指反正切始終返回一個介於 -90° 和 90° 之間的角度（不包含端點）。這個範圍確保了每個輸入都有唯一的輸出值。
arctan(1) 是多少？
arctan(1) = 45° 或 π/4 弧度。這是因為 tan(45°) = 1。45 度角是三角學中正切具有簡單精確值的特殊角之一。
如何將反正切結果從弧度轉換為角度？
要將弧度轉換為角度，請乘以 180/π（約 57.2958）。例如，arctan(1) = π/4 弧度 = (π/4) × (180/π) = 45°。此計算機會自動以兩種單位顯示結果。
反正切的通解是什麼？
由於正切函數的週期為 π 弧度（180°），因此有無窮多個角度具有相同的正切值。通解為 θ = arctan(x) + nπ，其中 n 是任意整數。這會生成正切值等於 x 的所有角度。
其他資源
引用此內容、頁面或工具為：
"反正切計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/反正切計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 miniwebtool 團隊。更新日期：2026年1月7日
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