反函數計算機
歡迎使用我們的反函數計算機，這是一個免費的線上工具，可提供詳細的逐步說明來幫助您求出函數的反函數。無論您是學習反函數的學生、正在準備微積分，還是製作範例的老師，本計算機都能提供清晰的代數求解過程說明。
什麼是反函數？
反函數通常表示為 $f^{-1}(x)$，它會反轉原始函數 $f(x)$ 的運算。如果 $f(a) = b$，那麼 $f^{-1}(b) = a$。換句話說，反函數會「復原」原始函數所做的事情。
反函數的關鍵性質包括：
- 合成性質： $f(f^{-1}(x)) = x$ 以及 $f^{-1}(f(x)) = x$
- 圖形關係： $f^{-1}(x)$ 的圖形是 $f(x)$ 關於直線 $y = x$ 的對稱圖形
- 定義域與值域互換： $f$ 的定義域變成 $f^{-1}$ 的值域，反之亦然
如何求函數的反函數
請依照下列步驟以代數方法求出反函數：
步驟 1：將 f(x) 替換為 y
首先將函數寫成 $y = f(x)$ 的形式。這樣可以讓代數運算更容易。
步驟 2：交換 x 和 y
在方程式中互換變數 x 和 y。這個步驟反轉了輸入與輸出的關係。
步驟 3：解出 y
使用代數技巧將 y 隔離在方程式的一邊。這通常是最具挑戰性的步驟。
步驟 4：以函數符號表示
將 y 替換為 $f^{-1}(x)$ 以正確表示反函數。
步驟 5：驗證（可選）
檢查 $f(f^{-1}(x)) = x$ 來確認您的答案。
常見的反函數
| 原始函數 $f(x)$ | 反函數 $f^{-1}(x)$ |
|---|---|
| $f(x) = x + a$ | $f^{-1}(x) = x - a$ |
| $f(x) = ax$ | $f^{-1}(x) = \frac{x}{a}$ |
| $f(x) = ax + b$ | $f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$ |
| $f(x) = x^2$ (對於 $x \geq 0$) | $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ |
| $f(x) = x^3$ | $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ |
| $f(x) = e^x$ | $f^{-1}(x) = \ln(x)$ |
| $f(x) = \ln(x)$ | $f^{-1}(x) = e^x$ |
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$ |
函數何時有反函數？
並非所有函數都有反函數。一個函數若要有反函數，必須是一對一（one-to-one，也稱為單射）的。這表示每一個輸出值恰好對應一個輸入值。
水平線測試
如果沒有任何水平線與函數圖形相交超過一次，則該函數通過水平線測試。如果函數通過此測試，它就有反函數。
- 線性函數（斜率不為零）永遠是一對一的
- 二次函數在所有實數上不是一對一的（它們無法通過水平線測試）
- 嚴格單調函數（總是遞增或總是遞減）是一對一的
限制定義域
當一個函數不是一對一時，我們可以限制它的定義域使其成為一對一函數。例如：
- $f(x) = x^2$ 不是一對一的，但 $f(x) = x^2$ 在 $x \geq 0$ 時是一對一的，其反函數為 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$
- $f(x) = \sin(x)$ 不是一對一的，但 $f(x) = \sin(x)$ 在 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 時是一對一的，其反函數為 $f^{-1}(x) = \arcsin(x)$
範例
範例 1：線性函數
求 $f(x) = 3x - 5$ 的反函數
解答：
- 寫成 $y = 3x - 5$
- 交換：$x = 3y - 5$
- 解出 y：$x + 5 = 3y$，所以 $y = \frac{x + 5}{3}$
- 因此，$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$
範例 2：有理函數
求 $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ 的反函數
解答：
- 寫成 $y = \frac{x - 1}{x + 2}$
- 交換：$x = \frac{y - 1}{y + 2}$
- 求解：$x(y + 2) = y - 1$，所以 $xy + 2x = y - 1$
- 移項整理：$xy - y = -1 - 2x$，所以 $y(x - 1) = -2x - 1$
- 因此，$f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{1 - x}$
使用本計算機的技巧
- 使用 x 作為變數輸入函數
- 使用 * 表示乘法（例如：2*x 而不是 2x）
- 使用 ^ 或 ** 表示指數（例如：x^2 或 x**2）
- 使用 sqrt(x) 表示平方根
- 使用 log(x) 表示自然對數
- 使用 exp(x) 或 e^x 表示指數函數
常見問題
f^(-1)(x) 中的 -1 是什麼意思？
$f^{-1}(x)$ 中的 -1 不是指數。它是一個表示反函數的符號。請勿將其與 $\frac{1}{f(x)}$ 混淆，後者是 f(x) 的倒數。
我可以求任何函數的反函數嗎？
並非所有函數都有反函數。只有一對一函數才有反函數。如果一個函數無法通過水平線測試，它在整個定義域上就沒有反函數，但您也許可以透過限制定義域來建立可逆函數。
如何驗證我的反函數是否正確？
要進行驗證，請檢查 $f(f^{-1}(x)) = x$ 和 $f^{-1}(f(x)) = x$ 是否成立。如果兩個合成結果都等於 x，您的反函數就是正確的。
更多資源
想了解更多關於反函數的資訊：
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由 miniwebtool 團隊製作。更新於：2025年12月12日
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