余弦定理計算機

Q: 什麼是余弦定理？

余弦定理是三角學中的一個基本定理，它將三角形三邊的長度與其中一個角的余弦值聯繫起來。公式為 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)，其中 a、b 和 c 是三角形的邊，C 是邊 c 的對角。它將畢氏定理推廣到所有三角形。

Q: 如何判斷三條邊能否構成一個有效的三角形？

如果三條邊滿足三角形不等式定理，則它們可以構成有效的三角形：任意兩邊之和必須大於第三邊。這意味著 a + b > c、a + c > b 和 b + c > a 必須全部成立。

Q: 余弦定理與畢氏定理有什麼關係？

余弦定理是畢氏定理的推廣。當角 C 為 90° 時，cos(90°) = 0，因此公式 c² = a² + b² − 2ab·cos(C) 簡化為 c² = a² + b²，即畢氏定理。

使用余弦定理求解三角形。支持 SAS（邊-角-邊）和 SSS（邊-邊-邊）情況。獲取逐步解題步驟、交互式三角形視覺化、面積、周长以及三角形分類！

余弦定理計算機

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余弦定理計算機

歡迎使用我們的余弦定理計算機，這是一個用於求解三角形的強大三角學工具。無論您已知兩邊及其夾角 (SAS)，還是已知所有三條邊 (SSS)，此計算機都能提供完整的解法，包括分步說明、交互式視覺化以及面積和周長等其他三角形屬性。

什麼是余弦定理？

余弦定理（也稱為余弦規則）是三角學中的一個基本定理，它將任何三角形三邊的長度與其中一個角的余弦值聯繫起來。它是畢氏定理的推廣，適用於所有三角形，而不僅僅是直角三角形。

余弦定理公式

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$

其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是邊的長度，$C$ 是邊 $c$ 的對角。該公式可以重新排列以求出任何邊或角：

變體形式

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)$$

當已知所有邊時求解角度：

求解角度

$$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

理解三角形情況

SAS 邊-角-邊

當您已知兩條邊及其夾角時。

已知： 邊 $a$ 和 $b$，角 $C$
求解： 邊 $c$，角 $A$ 和 $B$
方法： 使用 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

SSS 邊-邊-邊

當您已知三角形的所有三條邊時。

已知： 邊 $a$、$b$ 和 $c$
求解： 角 $A$、$B$ 和 $C$
要求： 必須滿足三角形不等式

如何使用此計算機

選擇情況類型： 如果您有兩邊和夾角，請選擇 SAS；如果您有所有三條邊，請選擇 SSS。
選擇角度單位： 根據您的輸入數據選擇度數或弧度。
輸入您的數值：
- SAS： 輸入邊 a、邊 b 和角 C（夾角）
- SSS： 輸入所有三條邊 a、b 和 c
點擊計算： 獲取完整的三角形解，包括所有邊、角、面積和周長。
查看解法： 查看分步計算過程和交互式三角形視覺化。

余弦定理的應用

🧭

導航計算三角形路徑中的距離和方位

🌟

天文學 測量天體之間的距離

📐

測量土地測量和邊界計算

🏗️

工程學 結構分析和受力計算

⚡

物理學 矢量分析和合力計算

🎮

遊戲開發 碰撞檢測和 3D 圖形

余弦定理與畢氏定理

余弦定理是畢氏定理的推廣。當角 $C = 90°$ 時，$\cos(90°) = 0$，因此公式簡化為：

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2$$

這正是畢氏定理！余弦定理將這種關係擴展到任何三角形，而不僅僅是直角三角形。

三角形不等式定理

為了使三條長度構成一個有效的三角形，它們必須滿足三角形不等式定理：任意兩邊之和必須大於第三邊。

$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$

我們的計算機會自動根據此定理驗證 SSS 輸入。

三角形分類

余弦定理可以幫助確定三角形的類型：

銳角三角形： 如果 $c^2 < a^2 + b^2$（所有角都小於 90°）
直角三角形： 如果 $c^2 = a^2 + b^2$（有一個角正好是 90°）
鈍角三角形： 如果 $c^2 > a^2 + b^2$（有一個角大於 90°）

余弦定理與正弦定理

這兩個定理對於求解三角形都是必不可少的，但它們適用於不同的情況：

余弦定理： 最適合 SAS 和 SSS 情況
正弦定理： 最適合 ASA (角-邊-角)、AAS (角-角-邊) 和 SSA (邊-邊-角) 情況
對於鈍角，余弦定理在計算上更穩定
結合使用這些定理，可以在已知充足信息的情況下求解任何三角形

常見問題

什麼是余弦定理？

余弦定理是三角學中的一個基本定理，它將三角形三邊的長度與其中一個角的余弦值聯繫起來。公式為 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是三角形的邊，$C$ 是邊 $c$ 的對角。它將畢氏定理推廣到所有三角形。

什麼時候該用余弦定理而不是正弦定理？

在 SAS (邊-角-邊) 和 SSS (邊-邊-邊) 情況下使用余弦定理。在 ASA (角-邊-角)、AAS (角-角-邊) 和 SSA (邊-邊-角) 情況下使用正弦定理。對於小角度，余弦定理在計算上更穩定。

求解三角形中的 SAS 情況是什麼？

SAS (Side-Angle-Side) 是指已知三角形的兩條邊及其夾角的情況。使用余弦定理，您可以求出第三邊，然後計算剩餘的角度。

求解三角形中的 SSS 情況是什麼？

SSS (Side-Side-Side) 是指已知三角形所有三條邊長度的情況。使用經過變形的余弦定理來求解角度，您可以求出所有三個角。三角形必須滿足三角形不等式定理。

如何判斷三條邊能否構成一個有效的三角形？

如果三條邊滿足三角形不等式定理，則它們可以構成有效的三角形：任意兩邊之和必須大於第三邊。這意味著 $a + b > c$、$a + c > b$ 和 $b + c > a$ 必須全部成立。

余弦定理與畢氏定理有什麼關係？

余弦定理是畢氏定理的推廣。當角 $C$ 為 90° 時，$\cos(90°) = 0$，因此公式 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$ 簡化為 $c^2 = a^2 + b^2$，即畢氏定理。

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余弦定理的應用

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余弦定理與正弦定理

常見問題

什麼是余弦定理？

什麼時候該用余弦定理而不是正弦定理？

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