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互補誤差函數計算機

使用交互式視覺化、分步解決方案和從 -3 到 3 的綜合 erfc 表計算互補誤差函數 erfc(x)。

互補誤差函數計算機

erfc(x) 計算機

高精度計算互補誤差函數

快速示例

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互補誤差函數計算機

歡迎使用 互補誤差函數計算機，這是一款用於計算 erfc(x) 的精密數學工具，提供分步解決方案、交互式曲線視覺化和綜合參考表。無論您是從事概率論、信號處理、熱傳遞方程還是統計分析，此計算機都能提供高達 20 位小數的準確結果。

什麼是互補誤差函數？

互補誤差函數（記作 erfc(x)）是一個特殊的數學函數，定義為誤差函數 erf(x) 的補。它在概率論、統計學以及物理和工程的各個分支中都起著基礎性的作用。

互補誤差函數定義
$$\text{erfc}(x) = 1 - \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2} \, dt$$

該函數表示標準正態分佈的值落在特定範圍之外的概率。誤差函數 erf(x) 測量從 0 到 x 的積分，而互補誤差函數測量從 x 到無窮大的剩餘積分。

與誤差函數的關係

互補誤差函數通過以下方式直接與誤差函數相關聯：

erfc-erf 關係
$$\text{erfc}(x) = 1 - \text{erf}(x)$$

其中誤差函數定義為：

誤差函數定義
$$\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^{x} e^{-t^2} \, dt$$

erfc(x) 的關鍵屬性

邊界值

erfc(0) = 1, erfc(+∞) = 0, erfc(-∞) = 2

對稱屬性

對於所有實數 x，erfc(-x) = 2 - erfc(x)

單調性

erfc(x) 對於所有實數 x 都是嚴格遞減的

範圍

對於所有有限的 x，0 < erfc(x) < 2

特殊值

如何使用此計算機

  1. 輸入您的值：在輸入框中輸入任何實數 x。對於 0.5、1 或 2 等常用值，請使用快速預設按鈕。
  2. 選擇精度：為您的結果選擇小數位數（4 到 20）。高精度對科學應用非常有用。
  3. 計算：點擊「計算」按鈕，使用高精度算術計算 erfc(x)。
  4. 查看結果：檢查主要結果、相關值（erf(x), e^(-x²)）以及顯示 erfc 曲線上輸入的交互式圖表。
  5. 研究步驟：查看分步計算明細以了解 erfc(x) 的計算方式。

erfc(x) 的應用

📊
統計與概率

計算正態分佈的尾部概率和置信區間。

📡
信號處理

使用 Q 函數在數字通信中進行誤碼率 (BER) 計算。

🔥
熱傳遞

解決熱擴散方程和熱邊界層問題。

⚛️
量子物理學

波函數計算和量子力學概率分佈。

💹
金融數學

使用正態分佈尾部進行期權定價模型和風險評估。

🧪
擴散過程

在傳質和化學擴散中模擬濃度分佈。

與正態分佈的關係

互補誤差函數與標準正態分佈 Φ(x) 的累計分佈函數 (CDF) 密切相關：

CDF 關係
$$\Phi(x) = \frac{1}{2} \text{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

通信工程中常用的 Q 函數通過以下方式與 erfc 相關聯：

Q 函數關係
$$Q(x) = \frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$$

漸近行為

對於大的正數 x，互補誤差函數以指數級速度趨於零：

漸近展開
$$\text{erfc}(x) \sim \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left(1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{3}{4x^4} - \cdots\right) \quad \text{當 } x \to \infty$$

當 x 較大（通常 x > 4）時，此近似值對計算效率非常有用。

常見問題

什麼是互補誤差函數 erfc(x)？

互補誤差函數 erfc(x) 定義為 erfc(x) = 1 - erf(x)，其中 erf(x) 是誤差函數。它表示標準正態隨機變量落在區間 [-x√2, x√2] 之外的概率。該函數廣泛用於統計學、物理學和工程學中的概率計算和熱擴散問題。

互補誤差函數的公式是什麼？

互補誤差函數定義為 erfc(x) = 1 - erf(x) = (2/√π) ∫ₓ^∞ e^(-t²) dt。該積分表示高斯曲線下從 x 到無窮大的面積，縮放比例為 2/√π。

erfc(x) 的關鍵屬性是什麼？

關鍵屬性包括：erfc(0) = 1, erfc(∞) = 0, erfc(-∞) = 2 以及對稱關係 erfc(-x) = 2 - erfc(x)。該函數對於所有 x 都是單調遞減的。對於大的正數 x，erfc(x) 以指數級速度趨於 0。

erfc(x) 如何用於概率論和統計學？

在概率論中，erfc(x)/2 給出標準正態變量超過 x√2 的概率。它還用於計算通信中的 Q 函數：Q(x) = erfc(x/√2)/2。這使得 erfc 對於數字通信中的誤碼率計算至關重要。

erfc(x) 與正態分佈之間有什麼關係？

erfc 函數與正態分佈的累計分佈函數 (CDF) 有關：Φ(x) = (1/2)erfc(-x/√2)。這種聯繫使得 erfc 在涉及正態分佈的統計分析和假設檢驗中具有基礎性作用。

誤差函數和互補誤差函數表

下表顯示了從 0 到 3.5 的 x 的 erf(x) 和 erfc(x) 值。使用此參考進行快速查找或驗證計算。

x erf(x) erfc(x)
0.0 0.000000000 1.000000000
0.1 0.112462916 0.887537084
0.2 0.222702589 0.777297411
0.3 0.328626759 0.671373241
0.4 0.428392355 0.571607645
0.5 0.520499878 0.479500122
0.6 0.603856091 0.396143909
0.7 0.677801194 0.322198806
0.8 0.742100965 0.257899035
0.9 0.796908212 0.203091788
1.0 0.842700793 0.157299207
1.1 0.880205070 0.119794930
1.2 0.910313978 0.089686022
1.3 0.934007945 0.065992055
1.4 0.952285120 0.047714880
1.5 0.966105146 0.033894854
1.6 0.976348383 0.023651617
1.7 0.983790459 0.016209541
1.8 0.989090502 0.010909498
1.9 0.992790429 0.007209571
2.0 0.995322265 0.004677735
2.1 0.997020533 0.002979467
2.2 0.998137154 0.001862846
2.3 0.998856823 0.001143177
2.4 0.999311486 0.000688514
2.5 0.999593048 0.000406952
2.6 0.999763966 0.000236034
2.7 0.999865667 0.000134333
2.8 0.999924987 0.000075013
2.9 0.999958902 0.000041098
3.0 0.999977910 0.000022090
3.1 0.999988351 0.000011649
3.2 0.999993974 0.000006026
3.3 0.999996942 0.000003058
3.4 0.999998478 0.000001522
3.5 0.999999257 0.000000743

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其他資源

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由 miniwebtool 團隊編寫。更新日期：2026 年 1 月 22 日

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