三重積分計算機

三重積分計算機

歡迎使用 三重積分計算機，這是一個全面的工具，用於計算具有詳細逐步解題步驟和 3D 可視化的三重積分。無論您是在學習多元微積分、解決物理問題還是進行工程應用，此計算機都能為定積分和不定三重積分提供準確的符號計算。

什麼是三重積分？

三重積分將積分的概念擴展到三維。它計算函數 $f(x, y, z)$ 在三維區域上的積分，寫作：

三重積分是多元微積分的基础，在物理、工程和應用數學中有着廣泛的應用。

三重積分的工作原理

累次積分

通過執行三次連續的單積分來評估矩形盒上的三重積分：

1. 內層積分： 對最內層變數（如 $z$）進行積分，同時將 $x$ 和 $y$ 視為常數
2. 中間層積分： 對中間變數（如 $y$）積分結果進行積分，同時將 $x$ 視為常數
3. 外層積分： 對最外層變數（如 $x$）進行積分

富比尼定理

對於具有常數極限的矩形區域上的連續函數，積分順序可以改變而不影響結果。這被稱為 富比尼定理。然而，對於非矩形區域，必須仔細注意積分順序和極限。

如何使用此計算機

1. 輸入函數： 輸入要積分的函數 $f(x, y, z)$。使用標準記法，如 x*y*z、sin(x)*cos(y) 或 exp(-x^2-y^2-z^2)。
2. 指定變數： 定義三個積分變數。外層積分使用第一個變數，中間層使用第二個，內層使用第三個。
3. 設置極限（可選）： 為每個變數輸入下限和上限。留空則計算不定積分。支持 pi、pi/2 或數值等表達式。
4. 計算： 點擊「計算三重積分」查看逐步解題步驟和可視化。

支持的函數和記法

• 算術運算： +, -, *, /, ^ (冪)
• 三角函數： sin, cos, tan, sinh, cosh
• 指數/對數： exp, ln
• 常數： pi, e
• 隱式乘法： 2x 被解釋為 2*x

三重積分的應用

座標系

笛卡爾座標系

使用 $(x, y, z)$ 座標的默認系統。最適用於矩形區域和沒有明顯對稱性的函數。

柱座標系

使用 $(r, \theta, z)$，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$。體積元素變為 $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$。非常適合具有圓形或圓柱對稱性的問題。

球座標系

使用 $(\rho, \phi, \theta)$，其中 $x = \rho\sin\phi\cos\theta$，$y = \rho\sin\phi\sin\theta$，$z = \rho\cos\phi$。體積元素為 $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$。最適用於球形區域。

常見問題解答

什麼是三重積分？

三重積分將積分擴展到三維，計算函數 $f(x,y,z)$ 在三維區域上的積分。它寫作 $\\iiint f(x,y,z) \, dV$，用於計算體積、質量、質心以及 3D 物體的其他屬性。

如何計算三重積分？

通過執行三次連續的單積分來計算三重積分，從最內層積分開始向外進行。對於矩形區域，在對一個變數積分時將其他變數視為常數，然後對剩餘變數重複此過程。

三重積分中的積分順序是什麼？

積分順序是指首先對哪個變數進行積分。常見的順序包括 $dz \, dy \, dx$、$dy \, dz \, dx$ 等。對於具有常數極限的矩形區域，順序不影響最終結果（富比尼定理），但對於非矩形區域，改變順序可能會簡化計算。

什麼時候應該使用三重積分？

三重積分用於計算三維物體的屬性：物體的體積、變密度物體的質量、質心、轉動慣量、電荷分布以及函數在 3D 區域上的平均值。

定三重積分和不定三重積分有什麼區別？

三重定積分對所有三個變數都有特定的極限，並產生一個數值。三重不定積分沒有極限，並產生一個函數（原函數）加上積分常數。定積分在應用中更常見。

三重積分可以轉換到其他座標系嗎？

是的，當區域或被積函數具有相應的對稱性時，三重積分可以轉換為柱座標 $(r, \theta, z)$ 或球座標 $(\rho, \phi, \theta)$。這通常會顯著簡化計算。在變換座標時必須包含雅可比行列式。

其他資源

• 多重積分 - 維基百科
• 多元微積分 - 可汗學院

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