Z-分數計算機

Z-分數計算機

歡迎使用 z 分數計算機，這是一個全面的統計工具，提供分步說明、交互式正態分佈可視化、概率計算和百分位數排名。無論您是在分析考試成績、進行統計研究、執行質量控制分析還是學習正態分佈，此計算機都能提供專業級的分析與直觀的視覺反饋。

什麼是 Z 分數？

z 分數（也稱為 標準分數）衡量一個數據點距離分佈平均值有多少個標準差。它將原始數據轉換為標準化刻度，從而可以比較來自不同分佈的值或識別異常值。

Z 分數公式

其中：

• z = z 分數（標準分數）
• x = 數據值（原始分數）
• \(\mu\) = 總體平均值
• \(\sigma\) = 總體標準差

反向 Z 分數公式

要從已知的 z 分數計算數據值：

如何解讀 Z 分數

z 分數表示一個值在分佈中的相對位置：

• z = 0: 該值等於平均值（第 50 個百分位數）
• z = 1: 高於平均值一個標準差（約第 84 個百分位數）
• z = -1: 低於平均值一個標準差（約第 16 個百分位數）
• z = 2: 高於平均值兩個標準差（約第 98 個百分位數）
• z = -2: 低於平均值兩個標準差（約第 2 個百分位數）

經驗法則 (68-95-99.7 法則)

在正態分佈中：

• 68% 的值落在 z = ±1 內（平均值的一個標準差內）
• 95% 的值落在 z = ±2 內（兩個標準差內）
• 99.7% 的值落在 z = ±3 內（三個標準差內）

常見 Z 分數參考表

Z 分數的應用

標準化考試

z 分數是標準化考試解讀的基礎。SAT、GRE 和 IQ 測試等會將原始分數轉換為標準化分數，以便在不同的考試版本或年份之間進行公平的表現比較。

質量控制

在製造業和六西格瑪 (Six Sigma) 方法論中，z 分數用於識別明顯偏離規格的產品或流程。超過 ±3 西格瑪的值通常表示存在缺陷或需要調查的特殊原因變異。

財務分析

z 分數有助於評估投資的相對表現、識別異常的市場波動並評估風險。Altman Z 分數是一個著名的公式，利用加權財務比率來預測破產風險。

醫學與研究應用

醫療保健使用 z 分數進行生長圖表（年齡別 BMI、年齡別身高）、骨密度測量（T 分數和 Z 分數）以及識別異常的化驗值。研究中使用 z 分數進行元分析並結合不同研究的結果。

異常值檢測

z 分數超過 ±2 或 ±3 的數據點通常被視為異常值。此閾值有助於識別數據錄入錯誤、不尋常的觀測結果或需要進一步調查的特殊案例。

Z 分數 vs 百分位數

雖然兩者相關，但 z 分數和百分位數衡量的是不同的東西：

• Z 分數: 以標準差為單位衡量與平均值的距離（可以是負數、零或正數）
• 百分位數: 表示低於給定值的數據百分比（範圍從 0 到 100）

您可以使用標準正態分佈在兩者之間進行轉換。例如，z = 1.0 大約對應於第 84 個百分位數。

常見問題解答

什麼是 Z 分數？

z 分數（也稱為標準分數）衡量一個數據點距離分佈平均值有多少個標準差。公式為 z = (x - μ) / σ，其中 x 是數據值，μ 是平均值，σ 是標準差。正的 z 分數表示該值高於平均值，而負的 z 分數表示低於平均值。

如何解讀 Z 分數？

z 分數表示相對位置：z = 0 表示該值等於平均值；z = 1 表示高於平均值 1 個標準差；z = -1 表示低於平均值 1 個標準差。在正態分佈中，約 68% 的值落在 z = ±1 之內，約 95% 落在 z = ±2 之內，約 99.7% 落在 z = ±3 之內。超過 ±3 的值通常被視為異常值。

Z 分數和百分位數有什麼區別？

z 分數以標準差為單位衡量與平均值的距離，而百分位數則表示低於給定值的數據百分比。它們是相關的：z = 0 對應第 50 個百分位數；z = 1 大約是第 84 個百分位數；z = 2 大約是第 98 個百分位數。

什麼時候應該使用 Z 分數？

z 分數適用於：比較來自不同分佈的值（如不同考試的成績）、識別數據中的異常值、為統計分析標準化數據、計算正態分佈中的概率以及創建標準化考試分數。它們在統計學、質量控制、心理學和許多科學領域中至關重要。

Z 分數可以是負數嗎？

是的，z 分數可以是負數、正數或零。負的 z 分數意味著數據值低於平均值；正的 z 分數意味著高於平均值；z 分數為零則意味著該值等於平均值。

什麼樣的 Z 分數才算好？

z 分數是否『好』取決於具體情況。對於分數越高越好的考試，正的 z 分數（高於平均水平）是理想的。對於數據質量，z 分數在 -2 和 +2 之間表示典型值，而超過 ±3 的值可能表示錯誤或異常值。

其他資源

• 標準分數 (Z-Score) - 維基百科
• 正態分佈 - 維基百科
• Z 分數複習 - 可汗學院

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