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线性回归计算器

计算线性回归方程、斜率、截距、R平方值，并使用交互式散点图可视化和分步公式分解进行预测。

线性回归计算器
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线性回归计算器

欢迎来到线性回归计算器，这是一个综合统计工具，可计算最小二乘回归线、相关系数、R平方值，并提供带有分步公式分解的交互式散点图可视化。无论您是为研究、业务预测还是学术研究进行数据分析，此计算器都能提供专业级的统计分析。

什么是线性回归？

线性回归是一种基本的统计方法，用于通过拟合线性方程到观察数据来模型化因变量（Y）和一个自变量（X）之间的关系。该方法通过最小化残差平方和（观察值和预测值之间的差异）来找到通过数据点的最佳拟合直线。

回归方程

简单线性回归模型
$$\hat{Y} = b_0 + b_1 X$$

其中：

如何计算线性回归

计算斜率（b₁）

斜率公式
$$b_1 = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$$

计算Y截距（b₀）

截距公式
$$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$$

其中x-bar和y-bar分别是X和Y的均值。

理解相关性和R平方

相关系数（r）

相关系数衡量X和Y之间线性关系的强度和方向。其范围从-1到+1：

r值解释
0.9到1.0非常强的正相关
0.7到0.9强正相关
0.5到0.7中等正相关
0.3到0.5弱正相关
-0.3到0.3几乎无相关
-0.5到-0.3弱负相关
-0.7到-0.5中等负相关
-0.9到-0.7强负相关
-1.0到-0.9非常强的负相关

R平方（确定系数）

R平方（R²）表示Y中由X解释的方差比例。例如，R² = 0.85表示Y中85%的方差可以由X与之间的线性关系解释。

R平方公式
$$R^2 = r^2 = 1 - \frac{SS_{residual}}{SS_{total}}$$

如何使用此计算器

  1. 输入X值： 在第一个文本区中输入您的自变量数据，用逗号、空格或换行符分隔。
  2. 输入Y值： 在第二个文本区中输入您的因变量数据。Y值的数量必须与X值匹配。
  3. 预测（可选）： 输入X值以使用回归方程预测相应的Y值。
  4. 设置精度： 为结果选择小数位数。
  5. 计算： 点击计算按钮以查看回归方程、散点图、相关统计和分步计算。

理解您的结果

主要结果

附加统计

线性回归的应用

商业和金融

科学和研究

经济学

社会科学

线性回归的假设

为了获得可靠的结果，线性回归假设：

  1. 线性性： X和Y之间的关系是线性的
  2. 独立性： 观察相互独立
  3. 同方差性： 残差在所有X值中有恒定的方差
  4. 正态性： 残差近似正态分布
  5. 无多重共线性：（对于多元回归）自变量之间不高度相关

常见问题

什么是线性回归？

线性回归是一种统计方法，用于通过拟合线性方程到观察数据来模型化因变量（Y）和一个自变量（X）之间的关系。方程的形式为Y = b₀ + b₁X，其中b₀是Y截距，b₁是斜率。它找到最佳拟合线，最小化观察值和预测值之间的平方差之和。

我如何解释线性回归中的斜率？

斜率（b₁）表示对于自变量X每增加一个单位，因变量Y的变化。正斜率表示当X增加时Y增加，负斜率表示当X增加时Y减少。

什么是R平方，它意味着什么？

R平方（R²）也称为确定系数，衡量回归线对数据的拟合程度。其范围从0到1，其中0表示模型不能解释任何变异性，1表示解释所有变异性。通常，R²大于0.7表示良好拟合。

相关系数（r）和R平方之间有什么区别？

相关系数（r）衡量X和Y之间线性关系的强度和方向，范围从-1到+1。R平方（R²）是r²，代表解释的方差比例。当r告诉您方向（正或负关系）时，R²只告诉您解释了多少方差。

我需要多少个数据点进行线性回归？

从技术上讲，您需要至少2个数据点来计算回归线，但这不提供任何自由度用于错误估计。为了进行有意义的统计分析，您应该至少有10-20个数据点。更多数据点通常会导致更可靠的估计。

线性回归中的残差是什么？

残差是观察的Y值和回归线预测的Y值之间的差异（残差=观察Y-预测Y）。分析残差有助于评估模型对数据的拟合程度。理想情况下，残差应该随机分散在零周围，没有明显的模式。

其他资源

引用此内容、页面或工具为：

"线性回归计算器" 于 https://MiniWebtool.com/zh-cn/线性回归计算器/，来自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 团队提供。更新时间：2026年1月17日

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