积分计算器

计算定积分和不定积分，提供详细的逐步解题过程、交互式函数可视化，并为微积分学生和专业人士提供全面的解释。

积分计算器

欢迎使用积分计算器，这是一个功能强大的在线工具，用于计算定积分和不定积分，并提供详细的分步解决方案。无论您是正在学习积分技巧的微积分学生，还是正在解决复杂问题的工程师，或者任何需要快速评估积分的人，此计算器都能提供准确的符号结果以及交互式可视化效果，帮助您理解积分过程。

什么是积分？

积分是微积分的两个基本运算之一（另一个是微分）。它代表微分的逆过程，用于寻找导数为已知函数的函数（原函数），并计算面积、体积和累积量。

不定积分（原函数）

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，意味着 $F'(x) = f(x)$，$C$ 是代表所有原函数族的积分常数。

定积分

定积分计算函数与 x 轴在特定区间内的有符号面积：

定积分

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

该公式被称为微积分基本定理，它将原函数和面积的概念联系起来，使我们能够使用原函数来评估定积分。

常用积分规则

以下是您需要了解的基本积分公式：

幂规则

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n 不等于 -1)

指数

$\int e^x \, dx = e^x + C$

自然对数

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

正弦

$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$

余弦

$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$

和规则

$\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

如何使用此计算器

选择积分类型： 选择您要计算不定积分（返回原函数 + C）还是定积分（返回数值）。
输入您的函数： 使用标准数学符号输入函数。支持的运算包括多项式 (x^2)、三角函数 (sin, cos, tan)、指数 (exp, e^x)、对数 (ln, log) 和平方根 (sqrt)。
指定变量： 通常为 x，但您可以使用任何单个字母。
对于定积分： 输入下限和上限。您可以使用数字或表达式，如 pi、e 或 sqrt(2)。
计算： 查看带有分步解决方案和交互式图表的结果。

支持的函数语法

幂： x^2, x^3, x^(-1)
三角函数： sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)
反三角函数： asin(x), acos(x), atan(x)
指数： exp(x), e^x, 2^x
对数： ln(x), log(x)
双曲函数： sinh(x), cosh(x), tanh(x)
其他： sqrt(x), abs(x)
常数： pi, e

微积分基本定理

微积分基本定理是数学中最重要的定理之一，它建立了微分和积分之间的联系。

第一部分：积分的导数

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$，那么 $F'(x) = f(x)$。这意味着积分的导数还原了原始函数。

第二部分：定积分的评估

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F$ 是 $f$ 的任意原函数，那么：

基本定理（第二部分）

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

该定理允许我们通过寻找原函数并计算边界处的差值来评估定积分，而不是计算黎曼和的极限。

积分技巧

换元法 (u-代换)

对于形式为 $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx$ 的积分，设 $u = g(x)$，那么 $du = g'(x) \, dx$。这会将积分转化为 $\int f(u) \, du$，可能更容易评估。

分部积分法

基于导数的乘积规则：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。这对于函数乘积非常有用，如 $x \cdot e^x$ 或 $x \cdot \sin(x)$。

部分分式

对于有理函数（多项式的比率），将分式分解为可以单独积分的更简单项。

三角代换法

对于包含 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 的被积函数，使用适当的三角代换。

积分的应用

曲线下的面积

最基本的应用：定积分 $\int_a^b f(x) \, dx$ 给出曲线 $y = f(x)$ 与 x 轴之间从 $x = a$ 到 $x = b$ 的有符号面积。

曲线间的面积

曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 之间从 $a$ 到 $b$ 的面积为：$\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$

旋转体体积

围绕轴旋转曲线会创建一个旋转体，其体积可以使用圆盘法计算：$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

物理应用

位移： 积分速度给出位移
功： $W = \int F(x) \, dx$（变力所做的功）
质心： 使用积分公式求得
概率： 概率密度曲线下的面积

常见问题解答

微积分中的积分是什么？

积分是微积分中的一个基本概念，代表数量的累积，例如曲线下的面积或总变化量。不定积分（原函数）寻找一个导数等于原始函数的函数。定积分计算函数与 x 轴在特定区间内的有符号面积。积分是微分的逆运算。

定积分和不定积分有什么区别？

不定积分寻找函数的一般原函数，并包含一个积分常数 C。它写为 f(x) dx 的积分 = F(x) + C。定积分在特定的上下限评估原函数，给出一个代表有符号面积的数值。从 a 到 b 的 f(x) dx 定积分等于 F(b) 减去 F(a)。

什么是微积分基本定理？

微积分基本定理连接了微分和积分。第一部分指出，如果 F(x) 是 f(x) 的原函数，那么从 a 到 x 的 f(t)dt 积分的导数等于 f(x)。第二部分指出，从 a 到 b 的 f(x)dx 的定积分等于 F(b) 减去 F(a)，其中 F 是 f 的任意原函数。该定理允许我们使用原函数来评估定积分。

常见的积分技巧有哪些？

常见的积分技巧包括：多项式项的幂规则、复合函数的换元法（u-代换）、函数乘积的分部积分法、有理函数的部分分式法、含有二次根式表达式的三角代换法，以及简化三角积分项的三角恒等式。技巧的选择取决于被积函数的形式。

曲线下的面积代表什么？

定积分代表函数与 x 轴之间的有符号面积。x 轴上方的面积计为正，而下方的面积计为负。这个概念有很多应用：在物理学中，速度-时间图像下的面积给出位移；在经济学中，边际成本曲线下的面积给出总成本；在概率论中，概率密度函数下的面积给出概率。

其他相关工具:

积分类型：
函数 f(x)：
变量：
限值：	下限 (a)：上限 (b)：
💡 语法：使用 `^` 表示幂，`*` 表示乘法。函数：`sin`, `cos`, `tan`, `exp`, `ln`, `sqrt`。常数：`pi`, `e`。

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