几何序列计算器

几何序列计算器

欢迎使用我们的几何序列计算器，这是一个强大的数学工具，可以计算任何等比数列的第 n 项、前 n 项之和以及无穷和。无论您是在学习数学、准备考试，还是解决涉及指数增长或衰减的现实问题，此计算器都能为您提供准确的结果，并附带详细的逐步解题过程和交互式可视化图表。

什么是几何序列（等比数列）？

几何序列（也称为等比数列）是一个数字序列，其中第一项之后的每一项都是通过将前一项乘以一个固定的非零数字（称为公比 r）而得到的。这种乘法模式将等比数列与等差数列区分开来，等差数列的各项是通过增加一个恒定量来区分的。

例如，序列 3, 6, 12, 24, 48, ... 是等比数列，因为每一项都是前一项的两倍 (r = 2)。序列 100, 50, 25, 12.5, ... 也是等比数列，公比 r = 0.5，展示了各项如何递减。

等比数列的关键组成部分

• 首项 (a₁)： 序列的起始值
• 公比 (r)： 相邻两项之间的恒定乘数
• 第 n 项 (aₙ)： 序列中位置为 n 的特定项
• 总和 (Sₙ)： 前 n 项的总和

等比数列公式

第 n 项公式

要查找等比数列中的任何项，请使用以下公式：

其中 a₁ 是首项，r 是公比，n 是项的位置。指数是 (n-1)，因为我们乘以 r 零次得到第一项，乘以一次得到第二项，依此类推。

前 n 项之和

前 n 项之和取决于公比是否等于 1：

当 r = 1 时，所有项都相等，因此 Sₙ = n × a₁。

无穷和（收敛级数）

当 |r| < 1 时，各项趋于零，无穷和收敛：

如果 |r| ≥ 1，则级数发散，没有有限和。

如何使用此计算器

1. 输入首项 (a₁)： 输入等比数列的起始值。可以是正数、负数或小数。
2. 输入公比 (r)： 输入每一项相乘的数值。公比可以是正数、负数或分数。
3. 输入 n： 指定您想查找的项的位置，以及要对多少项求和。
4. 选择精度： 为您的结果选择小数位数（10-100）。
5. 点击计算： 查看第 n 项、总和、序列可视化以及逐步解题过程。

了解序列行为

增长与衰减

• 增长 (r > 1)： 各项无限制地增加。例如：2, 6, 18, 54, ... (r = 3)
• 衰减 (0 < r < 1)： 各项向零递减。例如：100, 50, 25, ... (r = 0.5)
• 振荡 (-1 < r < 0)： 各项正负交替且绝对值减小。例如：8, -4, 2, -1, ... (r = -0.5)
• 增长振荡 (r < -1)： 各项正负交替且绝对值增大。例如：2, -6, 18, -54, ... (r = -3)
• 常数 (r = 1)： 所有项都等于第一项。例如：5, 5, 5, 5, ...
• 交替常数 (r = -1)： 项在 +a₁ 和 -a₁ 之间交替。例如：7, -7, 7, -7, ...

现实世界的应用

常见问题

什么是几何序列（等比数列）？

几何序列（或等比数列）是一个数字序列，其中第一项之后的每一项都是通过将前一项乘以一个固定的非零数字（称为公比 r）而得到的。例如，2, 6, 18, 54, ... 是一个等比数列，首项 a₁=2，公比 r=3。

等比数列第 n 项的公式是什么？

等比数列的第 n 项公式为：aₙ = a₁ × r^(n-1)，其中 a₁ 是首项，r 是公比，n 是你想查找的项的位置。例如，如果 a₁=3 且 r=2，则第 5 项为 a₅ = 3 × 2^4 = 48。

如何计算等比数列的和？

等比数列前 n 项的和在 r≠1 时为 Sₙ = a₁(1-rⁿ)/(1-r)，在 r=1 时为 Sₙ = n×a₁。对于 |r|<1 的无穷等比级数，其和收敛于 S∞ = a₁/(1-r)。

等比级数什么时候收敛？

当公比的绝对值小于 1 (|r| < 1) 时，等比级数收敛（具有趋于无穷大的有限和）。这意味着各项逐渐变小并趋于零。如果 |r| ≥ 1，则级数发散，没有有限和。

几何序列（等比数列）和算术序列（等差数列）有什么区别？

在等差数列中，每一项与前一项的差是一个常数（公差）。在等比数列中，每一项都是前一项的常数倍（公比）。等差数列：2, 5, 8, 11（加 3）。等比数列：2, 6, 18, 54（乘 3）。

其他资源

• 几何序列 - Mathematics LibreTexts
• 等比数列 - 维基百科
• 等比级数 - 维基百科

其他相关工具:

数列工具:

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