Z-分数计算器

Z-分数计算器

欢迎使用 z 分数计算器，这是一个全面的统计工具，提供 z-分数（标准分数）的分步计算说明、交互式正态分布可视化、概率计算和百分位数排名。无论您是在分析考试成绩、进行统计研究、执行质量控制分析还是研究正态分布，此计算器都能为您提供专业级的分析和直观的视觉反馈。

什么是 Z-分数？

z-分数（也称为标准分数）衡量一个数据点距离分布均值的标准差倍数。它将原始数据转换为标准化的尺度，从而可以比较来自不同分布的数值或识别异常数值。

Z-分数公式

其中：

• z = Z-分数（标准分数）
• x = 数据值（原始分数）
• \(\mu\) = 总体均值（平均数）
• \(\sigma\) = 总体标准差

Z-分数反向公式

从已知的 z-分数求数据值：

如何解读 Z-分数

z-分数表示数值在分布中的相对位置：

• z = 0: 数值等于均值（第 50 百分位数）
• z = 1: 高于均值一个标准差（约第 84 百分位数）
• z = -1: 低于均值一个标准差（约第 16 百分位数）
• z = 2: 高于均值两个标准差（约第 98 百分位数）
• z = -2: 低于均值两个标准差（约第 2 百分位数）

经验法则 (68-95-99.7 法则)

在正态分布中：

• 68% 的数值落在 z = ±1 之间（距离均值 1 个标准差以内）
• 95% 的数值落在 z = ±2 之间（距离均值 2 个标准差以内）
• 99.7% 的数值落在 z = ±3 之间（距离均值 3 个标准差以内）

常用 Z-分数参考表

Z-分数的应用

标准化测试

z-分数是解读标准化考试的基础。SAT、GRE 和 IQ 测试等考试会将原始分数转换为标准分数。这使得在不同版本的考试或不同年份之间公平地比较表现成为可能。

质量控制

在制造业和六西格玛方法论中，z-分数用于识别显著偏离规格的产品或流程。超过 ±3 西格玛的值通常表示存在缺陷或需要调查的特殊原因变异。

财务分析

z-分数有助于评估投资的相对表现，识别异常的市场波动并评估风险。Altman Z-score 是一个著名的公式，它使用加权财务比率来预测破产风险。

医疗和研究应用

医疗保健领域使用 z-分数来绘制生长图表（年龄别 BMI、年龄别身高）、骨密度测量（T-分数和 Z-分数）以及识别异常的实验室检测值。研究领域使用 z-分数进行荟萃分析并整合不同研究的结果。

异常值检测

z-分数超过 ±2 或 ±3 的数据点通常被视为异常值。这个阈值有助于识别数据输入错误、异常观测值或需要进一步调查的特殊情况。

Z-分数 vs 百分位数

虽然相关，但 z-分数和百分位数衡量的是不同的东西：

• Z-分数： 以标准差为单位衡量距离均值的距离（可以是负数、零或正数）
• 百分位数： 表示低于给定值的数值百分比（范围从 0 到 100）

您可以使用标准正态分布在两者之间进行转换。例如，z = 1.0 对应于大约第 84 百分位数。

常见问题解答

什么是 Z-分数？

z-分数（也称为标准分数）衡量一个数据点距离分布均值的标准差倍数。公式为 z = (x - μ) / σ，其中 x 是数据值，μ 是均值，σ 是标准差。正的 z-分数表示该值高于均值，而负的 z-分数表示它低于均值。

如何解读 Z-分数？

z-分数表示相对位置：z = 0 表示数值等于均值；z = 1 表示高于均值 1 个标准差；z = -1 表示低于均值 1 个标准差。在正态分布中，约 68% 的数值落在 z = ±1 之间，约 95% 落在 z = ±2 之间，约 99.7% 落在 z = ±3 之间。超过 ±3 的数值通常被视为异常值。

Z-分数和百分位数有什么区别？

z-分数以标准差为单位衡量距离均值的距离，而百分位数表示低于给定值的数值百分比。它们是相关的：z = 0 对应第 50 百分位数；z = 1 约为第 84 百分位数；z = 2 约为第 98 百分位数。

什么时候应该使用 Z-分数？

z-分数适用于：比较来自不同分布的数值（如不同考试的成绩）、识别数据中的异常值、标准化统计分析数据、计算正态分布中的概率以及创建标准考试成绩。它们在统计学、质量控制、心理学和许多科学领域都至关重要。

Z-分数可以是负数吗？

是的，z-分数可以是负数、正数或零。负的 z-分数表示数据值低于均值；正的 z-分数表示它高于均值；零表示数值等于均值。

什么样的 Z-分数算好？

z-分数是否“好”取决于背景。对于分数越高越好的考试，正的 z-分数（高于平均水平）是理想的。对于数据质量，-2 到 +2 之间的 z-分数表示典型值，而超过 ±3 的值可能表示错误或异常值。

其他资源

• 标准分数 (Z-Score) - 维基百科
• 正态分布 - 维基百科
• Z-分数复习 - 可汗学院

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