Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a

Q: Jaka jest definicja matematyczna Odwrotnej Transformaty Laplace'a?

Definicja formalna to f(t) = L^{-1}{F(s)} = (1/2πi) ∫ e^(st) F(s) ds, gdzie całka jest całką konturową na płaszczyźnie zespolonej. W praktyce częściej stosuje się tablice i techniki algebraiczne zamiast bezpośredniego obliczania tej całki.

Oblicz odwrotną transformatę Laplace'a funkcji F(s), aby znaleźć f(t). Uzyskaj rozwiązania krok po kroku, wizualizacje i zrozum przekształcenie z dziedziny częstotliwości do dziedziny czasu.

Szybkie przykłady - Kliknij, aby załadować

Wprowadź funkcję F(s)

F(s) =

Użyj ^ dla potęg, * dla mnożenia. Przykłady: 1/(s^2+4), s/((s-1)*(s+2))

Embed Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a Widget

O Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a

Matematyka Inżynierska

Dziedzina Częstotliwości

F(s)

Odwrotny Laplace

Dziedzina Czasu

f(t)

Witamy w Kalkulatorze Odwrotnej Transformaty Laplace'a, potężnym narzędziu do konwersji funkcji z zespolonej dziedziny częstotliwości $ F(s) $ z powrotem do dziedziny czasu $ f(t) $. Jest to niezbędne dla inżynierów, matematyków, fizyków i studentów pracujących z równaniami różniczkowymi, systemami sterowania, analizą obwodów i przetwarzaniem sygnałów.

Czym jest Odwrotna Transformata Laplace'a?

Odwrotna Transformata Laplace'a odwraca operację transformaty Laplace'a. Mając funkcję $ F(s) $ w dziedzinie s (zespolonej dziedzinie częstotliwości), znajduje odpowiednią funkcję w dziedzinie czasu $ f(t) $. Jest to fundamentalne przy rozwiązywaniu liniowych równań różniczkowych ze stałymi współczynnikami.

Definicja formalna

Odwrotna Transformata Laplace'a

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds$$

W praktyce rzadko przeprowadza się bezpośrednie obliczanie tej całki konturowej. Zamiast tego używa się tablic znanych par transformat i technik przekształceń algebraicznych, aby znaleźć odwrotne transformaty.

Kluczowe właściwości

Liniowość

$ \mathcal{L}^{-1}\{aF(s) + bG(s)\} = a f(t) + b g(t) $

Pierwsze twierdzenie o przesunięciu

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s - a)\} = e^{at} f(t) $

Drugie twierdzenie o przesunięciu

$ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a) f(t-a) $

Twierdzenie o splocie

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau $

Typowe pary transformat

$ F(s) $	$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} $
$ \dfrac{1}{s} $	$ 1 $
$ \dfrac{n!}{s^{n+1}} $	$ t^n $
$ \dfrac{1}{s - a} $	$ e^{at} $
$ \dfrac{b}{s^2 + b^2} $	$ \sin(bt) $
$ \dfrac{s}{s^2 + b^2} $	$ \cos(bt) $
$ \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\sin(bt) $
$ \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\cos(bt) $

Jak korzystać z tego kalkulatora

Wprowadź F(s): Wpisz swoją funkcję używając standardowej notacji matematycznej. Użyj ^ dla potęg, * dla mnożenia oraz standardowych nazw funkcji.
Kliknij Oblicz: Naciśnij przycisk, aby obliczyć odwrotną transformatę Laplace'a przy użyciu matematyki symbolicznej.
Przejrzyj wyniki: Zobacz funkcję w dziedzinie czasu $ f(t) $, rozwiązanie krok po kroku oraz wizualizacje graficzne obu funkcji.

Zastosowania

Systemy sterowania: Analiza odpowiedzi systemu poprzez konwersję transmitancji na zachowanie w dziedzinie czasu
Analiza obwodów: Rozwiązywanie obwodów RLC i wyznaczanie stanów nieustalonych
Przetwarzanie sygnałów: Zrozumienie odpowiedzi filtrów i transformacji sygnałów
Równania różniczkowe: Znajdowanie rozwiązań w postaci zamkniętej dla równań różniczkowych zwyczajnych (ODE) ze stałymi współczynnikami
Systemy mechaniczne: Analiza drgań, tłumienia i odpowiedzi mechanicznych

Przewodnik po składni wejściowej

Podstawowe operatory: +, -, *, /, ^ (potęga)
Nawiasy: Użyj ( i ) do grupowania
Zmienna: Użyj s jako zmiennej zespolonej częstotliwości
Funkcje: exp(x), sin(x), cos(x), sqrt(x), log(x)
Stałe: Użyj pi dla $\pi$ i E dla liczby Eulera

Często zadawane pytania

Czym jest Odwrotna Transformata Laplace'a?

Odwrotna Transformata Laplace'a to operacja matematyczna, która przekształca funkcję F(s) z zespolonej dziedziny częstotliwości (domena s) z powrotem do dziedziny czasu f(t). Jest to proces odwrotny do Transformaty Laplace'a i jest niezbędny do rozwiązywania równań różniczkowych w inżynierii i fizyce.

Jak korzystać z Kalkulatora Odwrotnej Transformaty Laplace'a?

Wprowadź swoją funkcję F(s) używając standardowej notacji matematycznej (np. 1/(s-7), s/(s^2+4), exp(-2*s)/s). Kliknij Oblicz, aby uzyskać odwrotną transformatę Laplace'a f(t) wraz z rozwiązaniami krok po kroku i wizualizacjami funkcji zarówno w dziedzinie częstotliwości, jak i czasu.

Jakie rodzaje funkcji są obsługiwane?

Ten kalkulator obsługuje funkcje wymierne (wielomiany dzielone przez wielomiany), funkcje wykładnicze, funkcje trygonometryczne osadzone w wyrażeniach domeny s oraz ich kombinacje. Typowe formy obejmują 1/(s-a), n!/(s^(n+1)), s/(s^2+b^2) i bardziej złożone wyrażenia.

Jaka jest definicja matematyczna Odwrotnej Transformaty Laplace'a?

Definicja formalna to $ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds $, gdzie całka jest całką konturową na płaszczyźnie zespolonej. W praktyce częściej stosuje się tablice i techniki algebraiczne zamiast bezpośredniego obliczania tej całki.

Dlaczego Odwrotna Transformata Laplace'a jest ważna w inżynierii?

Inżynierowie używają Odwrotnej Transformaty Laplace'a do analizy liniowych układów stacjonarnych, rozwiązywania problemów obwodów, projektowania systemów sterowania i zrozumienia przetwarzania sygnałów. Przekształca ona równania algebraiczne w dziedzinie s z powrotem na rozwiązania równań różniczkowych w dziedzinie czasu.

Dodatkowe zasoby

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-odwrotnej-transformaty-laplace/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 24 stycznia 2026

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.

Inne powiązane narzędzia:

Kalkulator konwolucji

Kalkulator transformaty Laplace'a

Kalkulator szeregu TayloraPolecane

Analiza matematyczna:

Kalkulator konwolucji
Kalkulator pochodnych
Kalkulator pochodnych kierunkowych
Kalkulator podwójnych całek Polecane
Kalkulator pochodnej niejawnej
Kalkulator Całek Polecane
Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a
Kalkulator transformaty Laplace'a
Kalkulator Granic Polecane
Kalkulator pochodnych cząstkowych Polecane
Kalkulator Pochodnych Jednej Zmiennej
Kalkulator szeregu Taylora Polecane
Kalkulator całki potrójnej

\( F(s) \)	\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)
\( \dfrac{1}{s} \)	\( 1 \)
\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)	\( t^n \)
\( \dfrac{1}{s - a} \)	\( e^{at} \)
\( \dfrac{b}{s^2 + b^2} \)	\( \sin(bt) \)
\( \dfrac{s}{s^2 + b^2} \)	\( \cos(bt) \)
\( \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\sin(bt) \)
\( \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\cos(bt) \)

Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a

Blokada reklam uniemożliwia wyświetlanie reklam

O Kalkulator odwrotnej transformaty Laplace'a

Czym jest Odwrotna Transformata Laplace'a?

Definicja formalna

Kluczowe właściwości

Typowe pary transformat

Jak korzystać z tego kalkulatora

Zastosowania

Przewodnik po składni wejściowej

Często zadawane pytania

Czym jest Odwrotna Transformata Laplace'a?

Jak korzystać z Kalkulatora Odwrotnej Transformaty Laplace'a?

Jakie rodzaje funkcji są obsługiwane?

Jaka jest definicja matematyczna Odwrotnej Transformaty Laplace'a?

Dlaczego Odwrotna Transformata Laplace'a jest ważna w inżynierii?

Dodatkowe zasoby

Inne powiązane narzędzia:

Analiza matematyczna:

Polecane narzędzia: