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이항 계수 계산기

단계별 풀이, 파스칼의 삼각형 시각화 및 실생활 확률 응용과 함께 이항 계수 C(n, k)를 계산합니다.

이항 계수 계산기
빠른 예시
공식 미리보기
$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

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이항 계수 계산기 정보

n개 중에서 k개를 선택하는 방법의 수인 C(n, k)를 계산하는 무료 온라인 도구인 이항 계수 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 계산기는 이항 계수를 이해하는 데 도움이 되도록 단계별 풀이, 파스칼의 삼각형 시각화 및 실생활 응용 사례를 제공합니다.

이항 계수란 무엇입니까?

C(n, k), $\binom{n}{k}$ 또는 "n choose k"로 표시되는 이항 계수는 순서에 상관없이 n개의 항목 집합에서 k개의 항목을 선택하는 방법의 총수를 나타냅니다. 이는 조합론, 확률론 및 대수학의 기본 개념입니다.

$$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

예를 들어, C(5, 2) = 10은 서로 다른 5개의 항목 중에서 2개를 선택하는 방법이 10가지임을 의미합니다.

C(n, k)는 어떻게 계산합니까?

이항 계수를 계산하는 데는 여러 가지 방법이 있습니다.

방법 1: 팩토리얼 공식

정의를 직접 사용합니다.

$$C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n-k)!}$$

예시: $C(5, 2) = \frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$

방법 2: 곱셈 공식

큰 팩토리얼 계산을 피하는 더 효율적인 방법입니다.

$$C(n, k) = \frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \cdots \times 1}$$

예시: $C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$

방법 3: 파스칼의 삼각형

n행(0부터 시작)에 모든 값 C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n)이 포함된 파스칼의 삼각형에서 값을 직접 읽습니다.

파스칼의 삼각형과의 관계

파스칼의 삼각형은 각 숫자가 바로 위 두 숫자의 합인 삼각형 배열입니다. 이 삼각형은 모든 이항 계수를 아름답게 나타냅니다.

n행 k번째 위치의 항목은 C(n, k)와 같습니다. 예를 들어, 4행에서 값 [1, 4, 6, 4, 1]은 각각 C(4, 0), C(4, 1), C(4, 2), C(4, 3), C(4, 4)에 해당합니다.

이항 계수의 성질

주요 성질
  • 대칭성: C(n, k) = C(n, n-k). k개를 선택하는 것은 제외할 n-k개를 선택하는 것과 같습니다.
  • 파스칼의 법칙: C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k). 각 값은 바로 위 두 값의 합입니다.
  • 행의 합: C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = $2^n$. n행의 합은 $2^n$과 같습니다.
  • 경계값: C(n, 0) = C(n, n) = 1. 아무것도 선택하지 않거나 모두 선택하는 방법은 한 가지뿐입니다.
  • 하키 스틱 항등식: $\sum_{i=r}^{n} C(i, r) = C(n+1, r+1)$. 대각선을 따라 합산하면 오른쪽 아래 항목과 같습니다.

이항 계수의 실생활 응용

복권 및 도박

복권 확률은 이항 계수를 사용하여 계산됩니다. 예를 들어, 49개 중 6개 번호를 맞히는 복권에서 가능한 총 조합 수는 C(49, 6) = 13,983,816입니다. 이는 당첨 확률이 약 1,400만 분의 1임을 의미합니다.

위원회 구성

위원회를 구성할 때 이항 계수는 가능한 서로 다른 그룹의 수를 알려줍니다. 20명의 후보자 중 5명의 위원을 선출해야 하는 경우 C(20, 5) = 15,504개의 가능한 위원회가 있습니다.

카드 게임

포커에서 52장의 카드 덱으로 만들 수 있는 5장 핸드의 수는 C(52, 5) = 2,598,960입니다. 플러시나 풀하우스와 같은 특정 핸드의 확률 계산에 이항 계수가 사용됩니다.

통계 및 확률

n번의 독립적인 시행에서 k번 성공할 확률을 나타내는 이항 분포는 이항 계수를 사용합니다: $P(X=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

컴퓨터 과학

이항 계수는 알고리즘 분석, 데이터 구조(이항 힙), 부호 이론 및 조합 최적화 문제에 등장합니다.

이 계산기 사용 방법

  1. n 값 입력: 첫 번째 필드에 전체 항목 수(n)를 입력합니다. 이는 선택 대상이 되는 세트의 크기를 나타냅니다.
  2. k 값 입력: 두 번째 필드에 선택할 항목 수(k)를 입력합니다. 이 값은 0에서 n 사이여야 합니다.
  3. 계산 클릭: 계산 버튼을 눌러 C(n, k)를 계산합니다. 이 도구는 결과와 함께 상세한 단계별 계산 과정을 표시합니다.
  4. 결과 확인: 공식 적용 과정을 보여주는 단계별 풀이, 사용자의 값이 강조된 파스칼의 삼각형 시각화, 실생활 예시 및 관련 이항 계수 값을 확인합니다.

자주 묻는 질문(FAQ)

이항 계수란 무엇입니까?

이항 계수 C(n, k)는 'n choose k' 또는 $\binom{n}{k}$로도 쓰이며, 순서에 상관없이 n개의 항목에서 k개의 항목을 선택하는 방법의 수를 나타냅니다. n! / (k! × (n-k)!)로 계산되며 확률론 및 조합론에서 널리 사용됩니다.

C(n, k)는 어떻게 계산합니까?

C(n, k)를 계산하는 가장 직접적인 방법은 공식 C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)를 사용하는 것입니다. 예를 들어, C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 10입니다. 숫자가 큰 경우 곱셈 공식을 사용하면 계산이 더 쉬워집니다.

이항 계수와 파스칼의 삼각형 사이의 관계는 무엇입니까?

파스칼의 삼각형에 있는 모든 숫자는 이항 계수입니다. n행(0부터 시작)의 k번째 숫자가 바로 C(n, k)입니다. 이로 인해 파스칼의 삼각형은 이러한 조합수를 시각적으로 확인하기에 매우 좋은 도구가 됩니다.

이항 계수의 실생활 응용 사례에는 어떤 것들이 있습니까?

복권 당첨 확률 계산, 팀 구성 및 위원회 선출 방법 산출, 통계학의 이항 분포, 유전학, 심지어 컴퓨터 과학의 경로 수 계산 등 매우 다양하게 활용됩니다.

대칭 성질의 장점은 무엇입니까?

C(n, k) = C(n, n-k)라는 대칭성을 이용하면 계산을 간소화할 수 있습니다. 예를 들어 C(100, 98)을 계산하는 것은 C(100, 2)를 계산하는 것과 같으며, 후자가 훨씬 적은 수의 항(100 × 99 / 2 × 1)만 계산하면 되므로 훨씬 빠릅니다.

참고 자료

이 콘텐츠, 페이지 또는 도구를 다음과 같이 인용하세요:

"이항 계수 계산기" - https://MiniWebtool.com/ko/이항-계수-계산기/에서 MiniWebtool 인용, https://MiniWebtool.com/

miniwebtool 팀 제작. 업데이트: 2026년 1월 13일

또한 저희의 AI 수학 해결사 GPT를 사용하여 자연어 질문과 답변으로 수학 문제를 해결할 수 있습니다.

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