역 라플라스 변환 계산기

Q: 역 라플라스 변환의 수학적 정의는 무엇입니까?

공식적인 정의는 f(t) = L^{-1}{F(s)} = (1/2πi) ∫ e^(st) F(s) ds 이며, 여기서 적분은 복소평면에서의 경로 적분(contour integral)입니다. 실제로는 적분을 직접 계산하기보다 변환표와 대수적 기법을 주로 사용합니다.

F(s)의 역 라플라스 변환을 계산하여 f(t)를 구합니다. 단계별 풀이와 시각화 자료를 확인하고 주파수 영역에서 시간 영역으로의 변환을 이해할 수 있습니다.

역 라플라스 변환 계산기

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F(s) 함수 입력

F(s) =

거듭제곱은 ^, 곱셈은 *를 사용하세요. 예: 1/(s^2+4), s/((s-1)*(s+2))

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역 라플라스 변환 계산기 정보

공학 수학

주파수 영역

F(s)

역 라플라스 변환

시간 영역

f(t)

역 라플라스 변환 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 강력한 도구는 복소 주파수 영역 $ F(s) $의 함수를 시간 영역 $ f(t) $로 변환해 줍니다. 미분 방정식, 제어 시스템, 회로 해석 및 신호 처리를 다루는 엔지니어, 수학자, 물리학자 및 학생들에게 필수적인 도구입니다.

역 라플라스 변환이란 무엇입니까?

역 라플라스 변환은 라플라스 변환의 역연산입니다. s-영역(복소 주파수 영역)에 있는 함수 $ F(s) $가 주어졌을 때, 이에 대응하는 시간 영역 함수 $ f(t) $를 찾습니다. 이는 상수 계수를 갖는 선형 미분 방정식을 푸는 데 기본이 됩니다.

공식적 정의

역 라플라스 변환

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds$$

실제로는 이 경로 적분을 직접 계산하는 경우가 드뭅니다. 대신 알려진 변환 쌍의 표와 대수적 조작 기법을 사용하여 역변환을 구합니다.

주요 성질

선형성 (Linearity)

$ \mathcal{L}^{-1}\{aF(s) + bG(s)\} = a f(t) + b g(t) $

제1 이동 정리 (First Shifting Theorem)

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s - a)\} = e^{at} f(t) $

제2 이동 정리 (Second Shifting Theorem)

$ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a) f(t-a) $

합성곱 정리 (Convolution Theorem)

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau $

일반적인 변환 쌍

$ F(s) $	$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} $
$ \dfrac{1}{s} $	$ 1 $
$ \dfrac{n!}{s^{n+1}} $	$ t^n $
$ \dfrac{1}{s - a} $	$ e^{at} $
$ \dfrac{b}{s^2 + b^2} $	$ \sin(bt) $
$ \dfrac{s}{s^2 + b^2} $	$ \cos(bt) $
$ \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\sin(bt) $
$ \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\cos(bt) $

이 계산기 사용 방법

F(s) 입력: 표준 수학 표기법을 사용하여 함수를 입력하세요. 거듭제곱에는 ^, 곱셈에는 *, 그리고 표준 함수 이름을 사용하세요.
계산 클릭: 버튼을 누르면 기호 수학을 사용하여 역 라플라스 변환을 계산합니다.
결과 확인: 시간 영역 함수 $ f(t) $, 단계별 풀이 과정, 그리고 두 함수의 그래프 시각화를 확인하세요.

응용 분야

제어 시스템: 전달 함수를 시간 영역 동작으로 변환하여 시스템 응답 분석
회로 해석: RLC 회로를 풀고 과도 응답 결정
신호 처리: 필터 응답 및 신호 변환 이해
미분 방정식: 상수 계수 ODE의 닫힌 형태 해 구하기
기계 시스템: 진동, 감쇠 및 기계적 응답 분석

입력 구문 가이드

기본 연산자: +, -, *, /, ^ (거듭제곱)
괄호: 그룹화에는 ( 와 ) 사용
변수: 복소 주파수 변수로 s 사용
함수: exp(x), sin(x), cos(x), sqrt(x), log(x)
상수: $\pi$는 pi, 오일러 수는 E 사용

자주 묻는 질문

역 라플라스 변환이란 무엇입니까?

역 라플라스 변환은 복소 주파수 영역(s-domain)의 함수 F(s)를 다시 시간 영역의 f(t)로 변환하는 수학적 연산입니다. 이는 라플라스 변환의 역과정이며 공학 및 물리학에서 미분 방정식을 푸는 데 필수적입니다.

역 라플라스 변환 계산기는 어떻게 사용합니까?

표준 수학 표기법(예: 1/(s-7), s/(s^2+4), exp(-2*s)/s)을 사용하여 함수 F(s)를 입력합니다. 계산 버튼을 클릭하면 역 라플라스 변환 f(t)와 함께 단계별 풀이 과정 및 주파수 영역과 시간 영역 함수의 시각화 결과를 얻을 수 있습니다.

어떤 종류의 함수가 지원됩니까?

이 계산기는 유리 함수(다항식을 다항식으로 나눈 형태), 지수 함수, s-영역 표현식에 포함된 삼각 함수 및 이들의 조합을 지원합니다. 일반적인 형태로는 1/(s-a), n!/(s^(n+1)), s/(s^2+b^2) 및 더 복잡한 식들이 포함됩니다.

역 라플라스 변환의 수학적 정의는 무엇입니까?

공식적인 정의는 $ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds $이며, 여기서 적분은 복소평면에서의 경로 적분(contour integral)입니다. 실제로는 적분을 직접 계산하기보다 변환표와 대수적 기법을 주로 사용합니다.

역 라플라스 변환이 공학에서 중요한 이유는 무엇입니까?

엔지니어들은 선형 시불변 시스템 분석, 회로 문제 해결, 제어 시스템 설계 및 신호 처리 이해를 위해 역 라플라스 변환을 사용합니다. 이는 s-영역의 대수 방정식 해를 다시 시간 영역의 미분 방정식 해로 변환해 줍니다.

추가 리소스

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"역 라플라스 변환 계산기" - https://MiniWebtool.com/ko/역-라플라스-변환-계산기/에서 MiniWebtool 인용, https://MiniWebtool.com/

miniwebtool 팀 제작. 업데이트: 2026년 1월 24일

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\( F(s) \)	\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)
\( \dfrac{1}{s} \)	\( 1 \)
\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)	\( t^n \)
\( \dfrac{1}{s - a} \)	\( e^{at} \)
\( \dfrac{b}{s^2 + b^2} \)	\( \sin(bt) \)
\( \dfrac{s}{s^2 + b^2} \)	\( \cos(bt) \)
\( \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\sin(bt) \)
\( \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\cos(bt) \)

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역 라플라스 변환이란 무엇입니까?

공식적 정의

주요 성질

일반적인 변환 쌍

이 계산기 사용 방법

응용 분야

입력 구문 가이드

자주 묻는 질문

역 라플라스 변환이란 무엇입니까?

역 라플라스 변환 계산기는 어떻게 사용합니까?

어떤 종류의 함수가 지원됩니까?

역 라플라스 변환의 수학적 정의는 무엇입니까?

역 라플라스 변환이 공학에서 중요한 이유는 무엇입니까?

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