벡터 계산기

단계별 풀이를 제공하는 무료 온라인 벡터 계산기입니다. 벡터의 내적, 외적, 크기, 단위 벡터, 두 벡터 사이의 각도, 투영 등을 계산하고 대화형 3D 시각화 기능을 제공합니다.

벡터 계산기

빠른 예제

1 벡터 입력

벡터 A

성분을 쉼표로 구분하세요

벡터 B

두 벡터 연산 시 필수

2 연산 선택

연산

정밀도

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벡터 계산기 정보

단계별 상세 풀이와 함께 벡터 연산을 수행할 수 있는 포괄적인 도구인 벡터 계산기에 오신 것을 환영합니다. 선형 대수학을 배우는 학생이든, 힘과 속도를 다루는 엔지니어든, 벡터 수학 계산이 필요한 분이라면 누구나 이 계산기를 통해 명확한 설명과 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

벡터란 무엇인가요?

벡터는 크기(길이)와 방향을 모두 갖는 수학적 대상입니다. 벡터는 일반적으로 성분이라고 불리는 숫자의 나열로 표현됩니다. 예를 들어, 3D 벡터는 x축 방향으로 3단위, y축 방향으로 4단위, z축 방향으로 5단위 이동을 나타내는 [3, 4, 5]와 같이 표기할 수 있습니다.

벡터는 물리학(힘, 속도, 가속도 표현), 컴퓨터 그래픽스(3D 변환, 조명), 머신러닝(특징 벡터, 임베딩) 및 기타 여러 분야에서 기초가 됩니다.

지원되는 벡터 연산

크기 (길이)

벡터의 크기는 길이 또는 노름(norm)이라고도 하며, 벡터의 길이를 측정합니다. 벡터 A = [a, b, c]의 경우:

크기 공식

$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

단위 벡터

단위 벡터는 크기가 1이며 원래 벡터와 같은 방향을 가리킵니다. 각 성분을 크기로 나누어 계산합니다:

단위 벡터 공식

$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

내적 (스칼라 곱)

두 벡터의 내적은 스칼라(단일 숫자)를 결과로 냅니다. 한 벡터가 다른 벡터의 방향으로 얼마나 진행되는지를 측정합니다:

내적 공식

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

주요 특징: 내적이 0이면 두 벡터는 수직입니다. 양수이면 비슷한 방향을, 음수이면 반대 방향을 가리킵니다.

외적 (벡터 곱)

두 3D 벡터의 외적은 두 입력 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터를 생성합니다. 외적의 크기는 두 벡터에 의해 형성되는 평행사변형의 넓이와 같습니다:

외적 공식

$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

벡터 덧셈 및 뺄셈

벡터 덧셈은 대응하는 성분을 더하여 벡터를 결합합니다. 뺄셈은 두 벡터의 차이를 구합니다:

덧셈/뺄셈

$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

두 벡터 사이의 각도

두 벡터 사이의 각도는 내적과 크기 사이의 관계를 사용하여 구합니다:

각도 공식

$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

벡터 사영

벡터 A의 벡터 B 위로의 사영은 B 방향으로의 A 성분을 구합니다:

사영 공식

$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

스칼라 곱

스칼라 곱은 벡터의 각 성분에 숫자를 곱하여 벡터의 크기를 조절(스케일링)합니다:

스칼라 곱

$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

연산 요약표

연산	필요한 입력	출력 유형	일반적인 용도
크기	하나의 벡터	스칼라	거리 찾기, 벡터 정규화
단위 벡터	하나의 벡터	벡터	방향 표현, 정규화
내적	두 개의 벡터	스칼라	각도 계산, 사영, 유사도 측정
외적	두 개의 3D 벡터	벡터	수직 벡터 찾기, 넓이 계산
덧셈	두 개의 벡터	벡터	힘의 결합, 변위 계산
뺄셈	두 개의 벡터	벡터	상대적 위치 찾기, 차이 계산
각도	두 개의 벡터	스칼라 (도)	방향성, 유사성 측정
사영	두 개의 벡터	벡터	그림자 계산, 성분 분해
스칼라 곱	벡터 1개 + 스칼라	벡터	스케일링, 벡터 크기 조정

이 계산기 사용 방법

벡터 A 입력: 첫 번째 벡터의 성분을 쉼표로 구분하여 입력하세요 (예: 3, 4, 0).
벡터 B 입력 (필요한 경우): 두 개의 벡터를 사용하는 연산의 경우 두 번째 벡터를 입력하세요.
연산 선택: 드롭다운 메뉴에서 수행할 계산을 선택하세요.
정밀도 설정: 결과에 표시할 소수점 자릿수를 선택하세요.
계산하기: 버튼을 클릭하여 단계별 설명과 함께 결과를 확인하세요.

자주 묻는 질문

내적이란 무엇인가요?

두 벡터 A와 B의 내적(스칼라 곱 또는 내부 곱이라고도 함)은 대응하는 성분끼리 곱하여 그 결과를 모두 합산하여 계산되는 스칼라 값입니다: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. 이는 |A||B|cos(θ)와 같으며, 여기서 θ는 두 벡터 사이의 각도입니다. 내적이 0이면 두 벡터는 수직입니다.

외적이란 무엇인가요?

두 3D 벡터 A와 B의 외적(벡터 곱이라고도 함)은 두 입력 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터를 생성합니다. A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁) 공식을 사용하여 계산됩니다. 외적의 크기 |A×B|는 A와 B에 의해 형성되는 평행사변형의 넓이와 같습니다.