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集合論電卓

和集合 (A ∪ B)、共通部分 (A ∩ B)、差集合 (A − B)、対称差 (A ∆ B)、直積 (A × B)、べき集合、補集合などの集合演算を行います。インタラクティブなベン図で視覚化します。

集合論電卓
∩
集合を定義する
カンマで区切って要素（数字、文字、または単語）を入力してください
⚡ クイック例
カンマで区切られた要素
カンマで区切られた要素
▶ 集合 C および 全体集合 (オプション)
3つの集合演算およびトリプルベン図用
補集合の計算に必要です
⚠
✓ 集合演算の計算完了

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集合論電卓

集合論とは？

集合論は、集合と呼ばれる対象の集まりを研究する数学論理学の一分野です。1870年代にゲオルク・カントールによって創設され、事実上すべての現代数学の基礎となっています。集合はその構成員によって定義されます。2つの集合が等しいのは、それらがまったく同じ要素を持っている場合のみです。

  • 離散数学 — 組合せ論、グラフ理論、形式言語の基礎
  • コンピュータサイエンス — データ構造（HashSet、TreeSet）、データベースクエリ（JOIN = 共通部分、UNION = 和集合）、型システム
  • 確率論 — 事象は集合としてモデル化され、和集合と共通部分はそれぞれ「または（OR）」と「かつ（AND）」の事象に対応します
  • 論理学 — ベン図は論理的関係を視覚化し、集合演算は論理演算子を反映します

この集合論電卓の使い方

各集合の要素をカンマで区切って入力してください。数字、文字、単語、または任意のテキストを要素として使用できます。電卓は自動的に主要な集合演算をすべて計算し、インタラクティブなベン図を表示します。

  • 要素をカンマで区切って入力します — 例：1, 2, 3, 4, 5 や りんご, バナナ, さくらんぼ
  • 3つの集合演算やトリプルベン図を表示するには、集合C（オプション）を使用します
  • 補集合（Aᶜ, Bᶜ）を計算するには、全体集合を定義します
  • ベン図演算ボタンをクリックして、異なる領域をハイライト表示します
  • プロパティタブを使用して、濃度（要素数）、部分集合関係、集合の相等性を確認します

集合演算リファレンス

演算記号説明例
和集合 A ∪ B AまたはB（あるいは両方）に含まれる要素 {1,2,3} ∪ {3,4,5} = {1,2,3,4,5}
共通部分 A ∩ B AとBの両方に含まれる要素 {1,2,3} ∩ {3,4,5} = {3}
差集合 A − B Aに含まれ、Bには含まれない要素 {1,2,3} − {3,4,5} = {1,2}
対称差 A ∆ B AまたはBのいずれか一方のみに含まれる要素 {1,2,3} ∆ {3,4,5} = {1,2,4,5}
直積 A × B a∈A, b∈B となるすべての順序対 (a,b) {1,2} × {a,b} = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
べき集合 ℘(A) Aのすべての部分集合からなる集合 ℘({1,2}) = {∅,{1},{2},{1,2}}
補集合 Aᶜ 全体集合に含まれるが、Aには含まれない要素 もし U={1,2,3,4,5}, A={1,2} ならば ℒ Aᶜ={3,4,5}
部分集合判定 A ⊆ B Aのすべての要素がBにも含まれているかどうか {1,2} ⊆ {1,2,3} = True

主要な集合論の法則

これらの基本的な法則は、数値の代数法則と同様に、集合演算がどのように相互作用するかを規定します：

  • 交換法則: A ∪ B = B ∪ A および A ∩ B = B ∩ A
  • 結合法則: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) および (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • 分配法則: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  • ド・モルガンの法則: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ および (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
  • 同一性（単位元）: A ∪ ∅ = A および A ∩ U = A
  • 補集合の性質: A ∪ Aᶜ = U および A ∩ Aᶜ = ∅
  • べき等法則: A ∪ A = A および A ∩ A = A

集合論の応用

集合演算を理解することは、多くの分野で非常に重要です：

  • SQLデータベース — UNION, INTERSECT, EXCEPT はクエリ結果に対する集合演算です
  • Pythonプログラミング — set 型は |（和集合）、&（共通部分）、-（差集合）をサポートしています
  • 確率論 — P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)（包含排除の原理）
  • デジタル論理 — 集合演算はロジックゲート演算（OR, AND, NOT）に対応します
  • データ分析 — データセットの比較、共通レコードの検索、ユニークなエントリの特定

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"集合論電卓"（https://MiniWebtool.com/ja//） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

集合論電卓は、標準的な集合論の定義を使用しています。詳細については、集合論 - Wikipediaを参照してください。

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

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