行列式計算機

行列式計算機

行列式計算機へようこそ。これは、包括的なステップバイステップソリューション付きで行列式を計算するための専門的なツールです。線形代数を学んでいる場合でも、連立方程式を解いている場合でも、行列の性質を分析している場合でも、このツールは詳細な余因子展開の分解と行列の洞察を提供します。

行列式とは？

行列式は、正方行列の要素から計算されるスカラー値です。行列と、それが表す線形変換に関する基本情報をコード化しています。行列式は数学において深い幾何学的および代数的重要性を持ちます。

2×2 行列式の公式

2×2行列の場合、行列式は直接計算されます：

3×3 行列式の公式

3×3行列の場合、任意の行または列に沿って余因子展開を使用します：

各余因子 $C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$ であり、$M_{ij}$ は小行列式（行iと列jを削除した部分行列の行列式）です。

この計算機の使い方

1. 行列サイズを選択: サイズボタンを使用して2x2から6x6を選択するか、テキスト領域に任意の正方行列を入力します。
2. 値を入力: インタラクティブグリッドに入力するか、値を直接入力します。スペースまたはコンマを使用して要素を分離し、改行を使用して行を分離します。
3. 計算: 計算ボタンをクリックして行列式を計算します。
4. 解を確認: すべての中間計算を示すステップバイステップの余因子展開を確認します。
5. プロパティを確認: 行列プロパティパネルを確認して、可逆性とその他の特性を理解します。

行列式の応用

行列の性質の理解

特異行列と可逆行列

• 可逆 (det ≠ 0): 行列には一意の逆行列があり、行/列は線形独立で、系 Ax = b は一意の解を持ちます。
• 特異 (det = 0): 行列には逆行列がなく、行/列は線形従属で、系は解なしまたは無限に多くの解を持つ可能性があります。

トレースと行列式の関係

トレース（対角要素の合計）と行列式は固有値を通じて関連しています。固有値λ₁、λ₂、...、λₙを持つ行列の場合：

• トレース = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ
• 行列式 = λ₁ × λ₂ × ... × λₙ

よくある質問

行列の行列式とは何ですか？

行列式は、正方行列から計算されるスカラー値で、重要な性質をエンコードします。行列が可逆であるかどうか（0でない行列式）を示し、線形変換のスケーリング係数を表し、行/列ベクトルで形成される平行六面体の符号付き体積に等しいです。

2×2行列の行列式をどのように計算しますか？

2×2行列[[a,b],[c,d]]の場合、行列式はdet = ad - bcとして計算されます。主対角線要素（a×d）を掛け、反対角線要素（b×c）の積を差し引きます。

3×3行列の行列式をどのように計算しますか？

3×3行列の場合、任意の行または列に沿って余因子展開を使用します。最初の行に沿って展開します：det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃、ここで各余因子Cᵢⱼは(-1)^(i+j)に2×2マイナー行列の行列式を掛けたものです。

0の行列式は何を意味しますか？

0の行列式は、行列が特異（可逆不可能）であることを示します。これは、行/列が線形に依存していること、行列が0以外のベクトルを0にマップしること、および方程式系Ax=bが解を持たないか無限個の解を持つことを意味します。

正方形でない行列の行列式を計算できますか？

いいえ、行列式は正方行列（行数と列数が同じ）に対してのみ定義されます。非正方行列の場合、疑似行列式または特異値などの関連概念は計算できますが、古典的な行列式は存在しません。

余因子展開とは何ですか？

余因子展開（ラプラス展開）は、任意の行または列に沿って展開することで行列式を計算します。各要素aᵢⱼについて、その余因子Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼで乗算します。ここで、Mᵢⱼは行iと列jを削除した部分行列の行列式）です。すべての積を合計して行列式を取得します。

追加リソース

• 行列式 - Wikipedia
• 行列式 - Khan Academy

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