三角関数グラフ作成ツール

三角関数グラフ作成ツール

三角関数グラフ作成ツールへようこそ。正弦、余弦、正接、その他の三角関数を探索するための強力な対話型視覚化ツールです。関数の変形を学んでいる学生、教材を作成している教師、周期的な現象を分析しているエンジニアのいずれにとっても、このツールは直感的なリアルタイムグラフ作成と包括的な数学的解説を提供します。

三角関数とは何ですか？

三角関数は、直角三角形の辺の比と角度を関連付ける基本的な数学関数です。これらは波動解析、信号処理、物理学、および工学の基礎を形成します。主な6つの三角関数は以下の通りです：

関数	定義	周期	値域
sin(x)	対辺 / 斜辺	2π	[-1, 1]
cos(x)	隣辺 / 斜辺	2π	[-1, 1]
tan(x)	sin(x) / cos(x)	π	(-∞, ∞)
cot(x)	cos(x) / sin(x)	π	(-∞, ∞)
sec(x)	1 / cos(x)	2π	(-∞, -1] ∪ [1, ∞)
csc(x)	1 / sin(x)	2π	(-∞, -1] ∪ [1, ∞)

一般形: y = A·f(B(x - C)) + D

すべての三角関数は、その形状と位置を制御する4つの主要なパラメータを使用して変形できます：

各パラメータの理解

• A（振幅）：垂直方向の引き伸ばし/圧縮を制御します。|A| は中心線から山までの距離です。Aが負の場合、関数はx軸を対称軸として反転します。
• B（周波数）：水平方向の引き伸ばし/圧縮に影響します。周期は、sin/cosの場合は 2π/|B|、tan/cotの場合は π/|B| となります。Bが大きくなるほど、同じ間隔内のサイクル数が増えます。
• C（位相シフト）：水平方向の移動。Cが正の場合はグラフが右に、負の場合は左にシフトします。位相シフト = Cユニットです。
• D（垂直シフト）：垂直方向の移動。グラフ全体を上（正のD）または下（負のD）に移動させます。中心線は y = D になります。

このツールの使い方

1. 関数の種類を選択する：ビジュアルセレクターを使用して、正弦、余弦、正接、余接、正割、余割から選択します。
2. 変形パラメータを設定する：振幅（A）、周波数（B）、位相シフト（C）、垂直シフト（D）の値を入力します。
3. 表示ウィンドウを調整する：X軸の最小値と最大値を設定します。一般的な選択肢は -2π から 2π、または 0 から 4π です。
4. 「グラフを表示」をクリック：対話型の視覚化を生成します。
5. スライダーで探索する：リアルタイムの対話型コントロールを使用してパラメータを変更し、グラフが即座に更新される様子を確認します。

主な公式

周期の公式

標準関数の主要な点

y = sin(x) の場合、1周期 [0, 2π] における主要な点は：

• (0, 0) - 中心線から開始
• (π/2, 1) - 最大値
• (π, 0) - 中心線に戻る
• (3π/2, -1) - 最小値
• (2π, 0) - 1サイクル完了

よくある質問

三角関数の一般形は何ですか？

一般形は y = A·f(B(x - C)) + D です。ここで、Aは振幅（垂直方向の引き伸ばし）、Bは周期（周期 = 2π/|B|）、Cは位相シフト（水平移動）、Dは垂直シフトを表します。この形式により、基本的な三角関数のあらゆる変形を記述できます。

三角関数の周期はどうやって求めますか？

正弦関数と余弦関数の場合、周期は 2π/|B|（Bは周波数係数）です。正接と余接の場合、周期は π/|B| です。例えば、y = sin(2x) の周期は 2π/2 = π となり、通常の 2π ではなく π 単位で1サイクルを完了することを意味します。

振幅と垂直シフトの違いは何ですか？

振幅（A）は、関数を中心線から垂直方向にどれだけ引き伸ばすかを決定し、山と谷の深さを制御します。垂直シフト（D）は、関数の形状を変えずに関数全体を上下に移動させます。y = 2sin(x) + 3 の場合、振幅は 2（中心線から上下に2ユニット振動）で、垂直シフトは 3（中心線が y=3 にある）となります。

なぜ正接（タンジェント）には垂直漸近線があるのですか？

正接は sin(x)/cos(x) として定義されます。cos(x) = 0（任意の整数 n に対して x = π/2 + nπ）のとき、ゼロ除算が発生し、関数が正または負の無限大に近づく垂直漸近線が作成されます。これが正接グラフに繰り返しの垂直漸近線があり、その点で関数が定義されない理由です。

位相シフトは三角関数のグラフにどのように影響しますか？

位相シフト（C）はグラフを水平方向に移動させます。Cが正の場合はグラフを右に、負の場合は左にシフトします。y = sin(x - π/2) の場合、グラフは右に π/2 ユニットシフトし、sin(x - π/2) = -cos(x) となります。位相シフトは、サイクルの異なる地点から始まる波を記述する物理学において非常に重要です。

三角関数の用途

• 物理学：振動、波動、振り子、交流電流のモデリング
• 工学：信号処理、電気回路、機械的振動
• 音楽：音波、倍音、周波数分析
• ナビゲーション：GPS計算、三角測量、測量
• コンピュータグラフィックス：回転、アニメーション、波のシミュレーション
• 建築：構造分析、荷重計算

参考資料

• 三角関数 - Wikipedia
• 三角関数 - Wolfram MathWorld (英語)
• 三角関数コース - Khan Academy

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