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Calcolatrice della Distribuzione di Poisson

Calcola le probabilità di Poisson P(X=k), le probabilità cumulative e visualizza le distribuzioni PMF/CDF con soluzioni dettagliate passo dopo passo.

Calcolatrice della Distribuzione di Poisson
Esempi rapidi
Formula PMF di Poisson
$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$
Eventi previsti per intervallo (0,01 - 100)
Intero non negativo (0 - 200)

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Calcolatrice della Distribuzione di Poisson

Benvenuto nella Calcolatrice della Distribuzione di Poisson, uno strumento completo per il calcolo delle probabilità di Poisson con visualizzazioni interattive e soluzioni passo dopo passo. Che tu sia uno studente che impara la teoria della probabilità, un ricercatore che analizza i dati degli eventi o un professionista che lavora con modelli statistici, questa calcolatrice fornisce risultati accurati con spiegazioni dettagliate.

Cos'è la distribuzione di Poisson?

La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta che modella il numero di eventi che si verificano in un intervallo fisso di tempo o spazio. Prende il nome dal matematico francese Siméon Denis Poisson ed è una delle distribuzioni più importanti nella teoria della probabilità e nella statistica.

La distribuzione di Poisson è caratterizzata da un singolo parametro lambda (λ), che rappresenta il tasso medio di eventi per intervallo. Le proprietà chiave includono:

Funzione di Massa di Probabilità di Poisson (PMF)
$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$$

Capire Lambda (λ) e k

Cos'è Lambda (λ)?

Lambda (λ) è il parametro del tasso medio della distribuzione di Poisson. Rappresenta il numero previsto di eventi per intervallo. Ad esempio:

Cos'è k?

La variabile k rappresenta il numero specifico di eventi per cui si desidera calcolare la probabilità. Deve essere un numero intero non negativo (0, 1, 2, 3, ...). Ad esempio, se vuoi conoscere la probabilità di esattamente 3 chiamate in un'ora, allora k = 3.

Come calcolare le probabilità della distribuzione di Poisson

  1. Identifica i tuoi parametri: Determina il tasso medio di eventi (λ) e il numero di eventi (k) per i quali desideri calcolare la probabilità.
  2. Inserisci i valori: Inserisci il tuo valore lambda (λ) che rappresenta il tasso medio e il valore k che rappresenta il numero di eventi nella calcolatrice.
  3. Calcola le probabilità: Fai clic su Calcola per ottenere P(X = k), P(X ≤ k), P(X > k) e altre misure di probabilità insieme alle visualizzazioni.
  4. Rivedi la soluzione passo dopo passo: Esamina i passaggi matematici dettagliati che mostrano come è stata calcolata ogni probabilità utilizzando la formula di Poisson.
  5. Analizza i grafici: Usa il grafico a barre PMF e il grafico a gradini CDF per visualizzare la distribuzione e comprendere la dispersione della probabilità.
Esempio: Arrivi di Clienti

Una caffetteria riceve una media di 5 clienti all'ora. Qual è la probabilità che arrivino esattamente 3 clienti in un'ora data?

Soluzione: Con λ = 5 e k = 3:

$$P(X = 3) = \frac{e^{-5} \cdot 5^3}{3!} = \frac{0,00674 \times 125}{6} \approx 0,1404$$

C'è circa il 14,04% di probabilità che arrivino esattamente 3 clienti.

Tipi di probabilità spiegati

Probabilità Notazione Significato
Probabilità Esatta P(X = k) Probabilità di esattamente k eventi
Cumulativa (al massimo k) P(X ≤ k) Probabilità di k o meno eventi
Cumulativa (meno di k) P(X < k) Probabilità di meno di k eventi
Coda (più di k) P(X > k) Probabilità di più di k eventi
Coda (almeno k) P(X ≥ k) Probabilità di k o più eventi

Qual è la differenza tra PMF e CDF?

La PMF (Probability Mass Function) fornisce la probabilità che si verifichino esattamente k eventi: P(X = k). Mostra la probabilità per ogni valore specifico di k.

La CDF (Cumulative Distribution Function) fornisce la probabilità che si verifichino al massimo k eventi: P(X ≤ k). È la somma di tutti i valori PMF da 0 a k:

Funzione di Distribuzione Cumulativa (CDF)
$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^i}{i!}$$

Applicazioni della distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è ampiamente utilizzata in molti campi:

Quando usare la distribuzione di Poisson

Usa la distribuzione di Poisson quando:

Domande frequenti

Cos'è la distribuzione di Poisson?

La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta che modella il numero di eventi che si verificano in un intervallo fisso di tempo o spazio quando gli eventi si verificano con un tasso medio costante noto (λ) e indipendentemente l'uno dall'altro. È comunemente usata per modellare eventi rari come gli arrivi di clienti, i guasti di sistema o il decadimento radioattivo.

Cos'è lambda (λ) nella distribuzione di Poisson?

Lambda (λ) è il parametro del tasso medio della distribuzione di Poisson. Rappresenta il numero previsto di eventi per intervallo. Ad esempio, se un call center riceve una media di 5 chiamate all'ora, allora λ = 5. Lambda deve essere positivo e può essere qualsiasi numero reale maggiore di zero.

Come calcolo P(X = k) per una distribuzione di Poisson?

La probabilità di esattamente k eventi viene calcolata utilizzando la formula PMF di Poisson: P(X = k) = (e^(-λ) × λ^k) / k!. Ad esempio, con λ = 5 e k = 3: P(X = 3) = (e^(-5) × 5^3) / 3! = (0,00674 × 125) / 6 ≈ 0,1404 o circa il 14,04%.

Qual è la differenza tra PMF e CDF nella distribuzione di Poisson?

La PMF (Probability Mass Function) fornisce la probabilità di esattamente k eventi: P(X = k). La CDF (Cumulative Distribution Function) fornisce la probabilità di al massimo k eventi: P(X ≤ k), che è la somma di tutti i valori PMF da 0 a k. La CDF è utile per calcolare le probabilità di intervalli di risultati.

Quando dovrei usare la distribuzione di Poisson?

Usa la distribuzione di Poisson quando: (1) gli eventi si verificano in modo indipendente, (2) gli eventi si verificano a un tasso medio costante, (3) due eventi non possono verificarsi esattamente nello stesso istante e (4) stai contando il numero di eventi in un intervallo fisso. Le applicazioni comuni includono la modellazione del traffico del sito web, le richieste di indennizzo assicurativo, i guasti delle apparecchiature e i processi biologici.

Riferimenti

Cita questo contenuto, pagina o strumento come:

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dal team di miniwebtool. Aggiornato: 13 gen 2026

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