Calcolatore di integrale triplo

Calcolatore di integrale triplo

Benvenuti nel Calcolatore di integrale triplo, uno strumento completo per calcolare integrali tripli con soluzioni dettagliate passo dopo passo e visualizzazioni 3D. Che tu stia studiando il calcolo multivariabile, risolvendo problemi di fisica o lavorando su applicazioni ingegneristiche, questo calcolatore fornisce calcoli simbolici accurati sia per integrali tripli definiti che indefiniti.

Cos'è un integrale triplo?

Un integrale triplo estende il concetto di integrazione a tre dimensioni. Calcola l'integrale di una funzione $f(x, y, z)$ su una regione tridimensionale, scritto come:

Gli integrali tripli sono fondamentali nel calcolo multivariabile e hanno numerose applicazioni in fisica, ingegneria e matematica applicata.

Come funziona l'integrazione tripla

Integrazione iterata

Un integrale triplo su un parallelepipedo rettangolare viene valutato eseguendo tre integrazioni singole successive:

1. Integrale interno: Integra rispetto alla variabile più interna (es. $z$) trattando $x$ e $y$ come costanti.
2. Integrale medio: Integra il risultato rispetto alla variabile media (es. $y$) trattando $x$ come costante.
3. Integrale esterno: Integra rispetto alla variabile più esterna (es. $x$).

Teorema di Fubini

Per funzioni continue su regioni rettangolari con limiti costanti, l'ordine di integrazione può essere modificato senza influire sul risultato. Questo è noto come teorema di Fubini. Tuttavia, per le regioni non rettangolari, occorre prestare molta attenzione all'ordine di integrazione e ai limiti.

Come usare questo calcolatore

1. Inserisci la funzione: Digita la funzione $f(x, y, z)$ da integrare. Usa la notazione standard come x*y*z, sin(x)*cos(y) o exp(-x^2-y^2-z^2).
2. Specifica le variabili: Definisci le tre variabili di integrazione. L'integrale esterno usa la prima variabile, quello medio la seconda e quello interno la terza.
3. Imposta i limiti (opzionale): Inserisci i limiti inferiore e superiore per ogni variabile. Lascia vuoto per gli integrali indefiniti. Supporta espressioni come pi, pi/2 o valori numerici.
4. Calcola: Clicca su "Calcola integrale triplo" per vedere la soluzione passo dopo passo e la visualizzazione.

Funzioni e notazione supportate

• Aritmetica: +, -, *, /, ^ (potenza)
• Trigonometriche: sin, cos, tan, sinh, cosh
• Esponenziali/Logaritmiche: exp, ln
• Costanti: pi, e
• Moltiplicazione implicita: 2x è interpretato come 2*x

Applicazioni degli integrali tripli

Sistemi di coordinate

Coordinate cartesiane

Il sistema predefinito che utilizza le coordinate $(x, y, z)$. Ideale per regioni rettangolari e funzioni senza simmetria evidente.

Coordinate cilindriche

Utilizza $(r, \theta, z)$ dove $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. L'elemento di volume diventa $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$. Ideale per problemi con simmetria circolare o cilindrica.

Coordinate sferiche

Utilizza $(\rho, \phi, \theta)$ dove $x = \rho\sin\phi\cos\theta$, $y = \rho\sin\phi\sin\theta$, $z = \rho\cos\phi$. L'elemento di volume è $dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta$. Ideale per regioni sferiche.

Domande frequenti

Cos'è un integrale triplo?

Un integrale triplo estende l'integrazione a tre dimensioni, calcolando l'integrale di una funzione $f(x,y,z)$ su una regione tridimensionale. Si scrive come $\\iiint f(x,y,z) \\, dV$ e viene utilizzato per calcolare volumi, masse, centri di massa e altre proprietà di oggetti 3D.

Come si valuta un integrale triplo?

Un integrale triplo viene valutato eseguendo tre integrazioni singole successive, partendo dall'integrale più interno e procedendo verso l'esterno. Per le regioni rettangolari, integra rispetto a una variabile trattando le altre come costanti, quindi ripeti per le restanti variabili.

Qual è l'ordine di integrazione negli integrali tripli?

L'ordine di integrazione si riferisce alla variabile che integri per prima. Gli ordini comuni includono $dz \, dy \, dx, dy \, dz \, dx$, ecc. Per le regioni rettangolari con limiti costanti, l'ordine non influisce sul risultato finale (teorema di Fubini), ma per le regioni non rettangolari, cambiare l'ordine può semplificare i calcoli.

Quando dovrei usare gli integrali tripli?

Gli integrali tripli vengono utilizzati per calcolare le proprietà di oggetti tridimensionali: volumi di solidi, massa di oggetti con densità variabile, centro di massa, momenti d'inerzia, distribuzioni di carica elettrica e valori medi di funzioni su regioni 3D.

Qual è la differenza tra integrali tripli definiti e indefiniti?

Un integrale triplo definito ha limiti specifici per tutte e tre le variabili e produce un valore numerico. Un integrale triplo indefinito non ha limiti e produce una funzione (primitiva) più costanti di integrazione. Gli integrali definiti sono più comuni nelle applicazioni.

Gli integrali tripli possono essere convertiti in altri sistemi di coordinate?

Sì, gli integrali tripli possono essere convertiti in coordinate cilindriche $(r, \theta, z)$ o coordinate sferiche $(\rho, \phi, \theta)$ quando la regione o l'integrando presentano una simmetria corrispondente. Ciò spesso semplifica notevolmente il calcolo. Il determinante jacobiano deve essere incluso quando si cambiano le coordinate.

Risorse aggiuntive

• Integrale multiplo - Wikipedia
• Calcolo multivariabile - Khan Academy

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