Calcolatore di Composizione di Funzioni
Calcola la composizione di due funzioni (f ∘ g)(x) e (g ∘ f)(x) con istruzioni dettagliate passo dopo passo che mostrano come comporre le funzioni algebricamente.
Calcolatore di Composizione di Funzioni
Benvenuto nel nostro **Calcolatore di Composizione di Funzioni**, uno strumento online gratuito che ti aiuta a calcolare la composizione di due funzioni con istruzioni dettagliate passo dopo passo. Che tu sia uno studente che sta imparando la composizione di funzioni, preparandosi per il calcolo, o un insegnante che crea esempi, questo calcolatore fornisce spiegazioni chiare del processo algebrico.
Cos'è la Composizione di Funzioni?
[Image of function composition diagram]La composizione di funzioni è il processo di combinazione di due funzioni per creare una nuova funzione. Quando componiamo le funzioni f e g, lo scriviamo come $(f \circ g)(x)$, che si legge come "f composto con g" o "f di g di x".
La notazione $(f \circ g)(x)$ significa $f(g(x))$, dove:
- Prima, applichiamo g all'input x, ottenendo $g(x)$
- Poi, applichiamo f a quel risultato, ottenendo $f(g(x))$
- La funzione interna viene applicata per prima, poi la funzione esterna
Come Calcolare la Composizione di Funzioni
Per trovare $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, segui questi passaggi:
Passaggio 1: Identificare le Funzioni Interna ed Esterna
In $(f \circ g)(x)$, g è la funzione interna (applicata per prima) e f è la funzione esterna (applicata per seconda).
Passaggio 2: Sostituire g(x) in f(x)
Sostituisci ogni occorrenza di x in f(x) con l'intera espressione di g(x).
Passaggio 3: Semplificare
Espandi, combina i termini simili, fattorizza o semplifica in altro modo l'espressione risultante.
Passaggio 4: Scrivere la Risposta Finale
Esprimi il tuo risultato come $(f \circ g)(x) = $ espressione semplificata.
Proprietà Importanti della Composizione di Funzioni
La Composizione di Funzioni NON è Commutativa
In generale, $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$. L'ordine è importante! Questa è una delle proprietà più importanti da ricordare.
La Composizione di Funzioni è Associativa
Se hai tre funzioni f, g e h, allora $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$.
Funzione Identità
La funzione identità $I(x) = x$ soddisfa $(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$ per qualsiasi funzione f.
Funzioni Inverse
Se f e g sono funzioni inverse, allora $(f \circ g)(x) = x$ e $(g \circ f)(x) = x$.
Esempi Comuni di Composizione di Funzioni
| $f(x)$ | $g(x)$ | $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ |
|---|---|---|
| $f(x) = 2x + 1$ | $g(x) = x^2$ | $2x^2 + 1$ |
| $f(x) = x^2$ | $g(x) = 2x + 1$ | $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ |
| $f(x) = \sqrt{x}$ | $g(x) = x + 4$ | $\sqrt{x + 4}$ |
| $f(x) = e^x$ | $g(x) = \ln(x)$ | $e^{\ln(x)} = x$ |
| $f(x) = \ln(x)$ | $g(x) = e^x$ | $\ln(e^x) = x$ |
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $g(x) = x + 2$ | $\frac{1}{x + 2}$ |
Dominio delle Funzioni Composte
Il dominio di $(f \circ g)(x)$ consiste di tutti gli x nel dominio di g tali che $g(x)$ sia nel dominio di f.
Per esempio, se $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x - 4$:
- $g(x) = x - 4$ è definita per tutti i numeri reali
- $f(x) = \sqrt{x}$ richiede $x \geq 0$
- Per $(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 4}$, abbiamo bisogno che $x - 4 \geq 0$, quindi $x \geq 4$
Applicazioni della Composizione di Funzioni
Nel Calcolo
La composizione di funzioni è essenziale per la regola della catena nella differenziazione: Se $h(x) = f(g(x))$, allora $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$."
Problemi del Mondo Reale
La composizione di funzioni modella processi sequenziali. Per esempio:
- Conversione della temperatura: Converti Fahrenheit in Kelvin convertendo prima F in C, poi C in K
- Affari: Applica uno sconto a un prezzo, poi aggiungi l'imposta sulle vendite (IVA)
- Fisica: La velocità è la derivata della posizione, l'accelerazione è la derivata della velocità
Esempi
Esempio 1: Funzioni Polinomiali
Sia $f(x) = 2x + 3$ e $g(x) = x^2 - 1$. Trova $(f \circ g)(x)$.
Soluzione:
- $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
- Sostituisci $g(x) = x^2 - 1$ in $f(x) = 2x + 3$:
- $f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3$
- $= 2x^2 - 2 + 3$
- $= 2x^2 + 1$
Esempio 2: Funzioni Razionali e Polinomiali
Sia $f(x) = \frac{1}{x}$ e $g(x) = x + 2$. Trova sia $(f \circ g)(x)$ che $(g \circ f)(x)$."
Soluzione:
- $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = \frac{1}{x + 2}$
- $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} + 2 = \frac{1 + 2x}{x}$
- Nota: $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$
Esempio 3: Verifica delle Funzioni Inverse
Sia $f(x) = 2x + 3$ e $g(x) = \frac{x - 3}{2}$. Verifica che f e g siano inverse."
Soluzione:
- Controlla $(f \circ g)(x)$: $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x - 3 + 3 = x$ ✓
- Controlla $(g \circ f)(x)$: $g(2x + 3) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = \frac{2x}{2} = x$ ✓
- Poiché entrambe le composizioni sono uguali a x, f e g sono inverse.
Suggerimenti per l'Uso di Questo Calcolatore
- Inserisci le funzioni usando x come variabile
- Usa * per la moltiplicazione (es. 2*x invece di 2x)
- Usa ^ o ** per gli esponenti (es. x^2 o x**2)
- Usa sqrt(x) per la radice quadrata
- Usa log(x) per il logaritmo naturale
- Usa exp(x) o e^x per la funzione esponenziale
- Usa le parentesi per chiarire l'ordine delle operazioni
Domande Frequenti
Qual è la differenza tra (f ∘ g)(x) e f(x) × g(x)?
$(f \circ g)(x)$ è la composizione di funzioni, che significa $f(g(x))$. Al contrario, $f(x) \times g(x)$ è la moltiplicazione di funzioni, dove si moltiplicano gli output di entrambe le funzioni. Queste sono operazioni completamente diverse.
Come si legge la notazione (f ∘ g)(x)?
Leggilo come "f composto con g di x" o semplicemente "f di g di x". Il piccolo cerchio ∘ indica la composizione, non la moltiplicazione.
L'ordine è importante nella composizione di funzioni?
Sì! La composizione di funzioni non è commutativa. $(f \circ g)(x)$ di solito dà un risultato diverso da $(g \circ f)(x)$. Fai sempre attenzione a quale funzione viene applicata per prima."
Come trovo il dominio di una funzione composta?
Il dominio di $(f \circ g)(x)$ consiste di tutti i valori x dove: (1) x è nel dominio di g, E (2) $g(x)$ è nel dominio di f. Devi verificare entrambe le condizioni.
Risorse Aggiuntive
Per saperne di più sulla composizione di funzioni:
- Composizione di Funzioni - Wikipedia
- Composizione di Funzioni - Khan Academy
- Composizione di Funzioni - Wolfram MathWorld
Cita questo contenuto, pagina o strumento come:
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dal team di miniwebtool. Aggiornato: 13 Dic 2025
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